Номер 19.4, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.4. При каких значениях переменной принимает положительные значения дробь:

1) $\frac{3x - 5}{2x}$;2) $\frac{4x + 3}{7x}$;3) $\frac{3x - 7}{5x}$;4) $\frac{7 - 5x}{4 - x}$?

1) Дробь принимает положительные значения, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это условие эквивалентно решению неравенства:

$\frac{3x - 5}{2x} > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем значения переменной $x$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$.

Нуль знаменателя: $2x = 0 \implies x = 0$.

Эти точки ($0$ и $\frac{5}{3}$) разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{5}{3})$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$. Определим знак дроби на каждом из этих интервалов, выбрав пробную точку из каждого.

• Интервал $(-\infty, 0)$. Возьмем $x = -1$. $\frac{3(-1) - 5}{2(-1)} = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(0, \frac{5}{3})$. Возьмем $x = 1$. $\frac{3(1) - 5}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(\frac{5}{3}, +\infty)$. Возьмем $x = 2$. $\frac{3(2) - 5}{2(2)} = \frac{6 - 5}{4} = \frac{1}{4}$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x < 0$ или $x > \frac{5}{3}$.

2) Необходимо решить неравенство:

$\frac{4x + 3}{7x} > 0$

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4}$.

Нуль знаменателя: $7x = 0 \implies x = 0$.

Точки $x = -\frac{3}{4}$ и $x = 0$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -\frac{3}{4})$, $(-\frac{3}{4}, 0)$ и $(0, +\infty)$. Проверим знак дроби в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, -\frac{3}{4})$. Возьмем $x = -1$. $\frac{4(-1) + 3}{7(-1)} = \frac{-4 + 3}{-7} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(-\frac{3}{4}, 0)$. Возьмем $x = -0.5$. $\frac{4(-0.5) + 3}{7(-0.5)} = \frac{-2 + 3}{-3.5} = \frac{1}{-3.5}$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(0, +\infty)$. Возьмем $x = 1$. $\frac{4(1) + 3}{7(1)} = \frac{4 + 3}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -\frac{3}{4})$ и $(0, +\infty)$.

Ответ: $x < -\frac{3}{4}$ или $x > 0$.

3) Необходимо решить неравенство:

$\frac{3x - 7}{5x} > 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$.

Нуль знаменателя: $5x = 0 \implies x = 0$.

Точки $x = 0$ и $x = \frac{7}{3}$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}, +\infty)$. Проверим знак дроби в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, 0)$. Возьмем $x = -1$. $\frac{3(-1) - 7}{5(-1)} = \frac{-3 - 7}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(0, \frac{7}{3})$. Возьмем $x = 1$. $\frac{3(1) - 7}{5(1)} = \frac{3 - 7}{5} = \frac{-4}{5}$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(\frac{7}{3}, +\infty)$. Возьмем $x = 3$. $\frac{3(3) - 7}{5(3)} = \frac{9 - 7}{15} = \frac{2}{15}$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(\frac{7}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x < 0$ или $x > \frac{7}{3}$.

4) Необходимо решить неравенство:

$\frac{7 - 5x}{4 - x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $7 - 5x = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5}$.

Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \implies x = 4$.

Точки $x = \frac{7}{5}$ (это 1.4) и $x = 4$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, \frac{7}{5})$, $(\frac{7}{5}, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверим знак дроби в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, \frac{7}{5})$. Возьмем $x = 0$. $\frac{7 - 5(0)}{4 - 0} = \frac{7}{4}$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(\frac{7}{5}, 4)$. Возьмем $x = 2$. $\frac{7 - 5(2)}{4 - 2} = \frac{7 - 10}{2} = \frac{-3}{2}$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(4, +\infty)$. Возьмем $x = 5$. $\frac{7 - 5(5)}{4 - 5} = \frac{7 - 25}{-1} = \frac{-18}{-1} = 18$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, \frac{7}{5})$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x < \frac{7}{5}$ или $x > 4$.