Номер 19.7, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.7. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{x-5}{1-x} > 2;$

2) $\frac{x-6}{x-1} > 3;$

3) $\frac{2x-7}{x+1} > 4;$

4) $\frac{5-x}{x+1} > 2.$

1) Решим неравенство $\frac{x - 5}{1 - x} > 2$.

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все его члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю: $\frac{x - 5}{1 - x} - 2 > 0$

$\frac{x - 5 - 2(1 - x)}{1 - x} > 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{x - 5 - 2 + 2x}{1 - x} > 0$

$\frac{3x - 7}{1 - x} > 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $3x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{3}$ $1 - x = 0 \implies x = 1$

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое, точки будут "выколотыми".

Определим знак выражения $\frac{3x - 7}{1 - x}$ на каждом из интервалов. Интервал $(-\infty; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{3(0)-7}{1-0} = -7 < 0$. Интервал $(1; \frac{7}{3})$: возьмем $x=2$, $\frac{3(2)-7}{1-2} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$. Интервал $(\frac{7}{3}; +\infty)$: возьмем $x=3$, $\frac{3(3)-7}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1 < 0$.

Решением неравенства является интервал, на котором выражение положительно: $x \in (1; \frac{7}{3})$. Так как $\frac{7}{3} \approx 2.33$, то единственное целое число в этом интервале — это 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{x - 6}{x - 1} > 3$.

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x - 6}{x - 1} - 3 > 0$

$\frac{x - 6 - 3(x - 1)}{x - 1} > 0$

$\frac{x - 6 - 3x + 3}{x - 1} > 0$

$\frac{-2x - 3}{x - 1} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{2x + 3}{x - 1} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}$ $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Отметим точки $-\frac{3}{2}$ и $1$ на числовой оси.

Определим знаки выражения $\frac{2x + 3}{x - 1}$: Интервал $(-\infty; -\frac{3}{2})$: возьмем $x=-2$, $\frac{2(-2)+3}{-2-1} = \frac{-1}{-3} > 0$. Интервал $(-\frac{3}{2}; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{2(0)+3}{0-1} = -3 < 0$. Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $\frac{2(2)+3}{2-1} = 7 > 0$.

Решением неравенства является интервал, где выражение отрицательно: $x \in (-\frac{3}{2}; 1)$. Так как $-\frac{3}{2} = -1.5$, целые числа в этом интервале: $-1, 0$. Наименьшим из них является -1.

Ответ: -1

3) Решим неравенство $\frac{2x - 7}{x + 1} > 4$.

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x - 7}{x + 1} - 4 > 0$

$\frac{2x - 7 - 4(x + 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{2x - 7 - 4x - 4}{x + 1} > 0$

$\frac{-2x - 11}{x + 1} > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{2x + 11}{x + 1} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $2x + 11 = 0 \implies x = -\frac{11}{2}$ $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Отметим точки $-\frac{11}{2}$ и $-1$ на числовой оси.

Определим знаки выражения $\frac{2x + 11}{x + 1}$: Интервал $(-\infty; -\frac{11}{2})$: возьмем $x=-6$, $\frac{2(-6)+11}{-6+1} = \frac{-1}{-5} > 0$. Интервал $(-\frac{11}{2}; -1)$: возьмем $x=-2$, $\frac{2(-2)+11}{-2+1} = \frac{7}{-1} < 0$. Интервал $(-1; +\infty)$: возьмем $x=0$, $\frac{2(0)+11}{0+1} = 11 > 0$.

Решением неравенства является интервал $x \in (-\frac{11}{2}; -1)$. Так как $-\frac{11}{2} = -5.5$, целые числа в этом интервале: $-5, -4, -3, -2$. Наименьшим из них является -5.

Ответ: -5

4) Решим неравенство $\frac{5 - x}{x + 1} > 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{5 - x}{x + 1} - 2 > 0$

$\frac{5 - x - 2(x + 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{5 - x - 2x - 2}{x + 1} > 0$

$\frac{3 - 3x}{x + 1} > 0$

Разделим обе части неравенства на 3 (положительное число, знак не меняется): $\frac{1 - x}{x + 1} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $1 - x = 0 \implies x = 1$ $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой оси.

Определим знаки выражения $\frac{1 - x}{x + 1}$: Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$, $\frac{1-(-2)}{-2+1} = \frac{3}{-1} < 0$. Интервал $(-1; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{1-0}{0+1} = 1 > 0$. Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $\frac{1-2}{2+1} = \frac{-1}{3} < 0$.

Решением неравенства является интервал, где выражение положительно: $x \in (-1; 1)$. Единственное целое число в этом интервале — это 0.

Ответ: 0