Номер 19.6, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.6. Найдите целые решения неравенства:

1) $\frac{6x - 5}{4x + 1} < 0;$

2) $\frac{2x - 5}{x + 1} < 0;$

3) $\frac{2 - 3x}{2x + 7} > 0;$

4) $\frac{7x - 5}{4 - x} > 0.$

1) Решим неравенство $\frac{6x - 5}{4x + 1} < 0$.
Для решения данного дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.
1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6x - 5 = 0 \Rightarrow 6x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{6}$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое, обе точки будут выколотыми (не включаются в решение).
3. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -\frac{1}{4})$, $(-\frac{1}{4}; \frac{5}{6})$ и $(\frac{5}{6}; +\infty)$. Возьмем пробную точку из каждого интервала: - При $x = -1$: $\frac{6(-1) - 5}{4(-1) + 1} = \frac{-11}{-3} > 0$ (знак +). - При $x = 0$: $\frac{6(0) - 5}{4(0) + 1} = \frac{-5}{1} < 0$ (знак -). - При $x = 1$: $\frac{6(1) - 5}{4(1) + 1} = \frac{1}{5} > 0$ (знак +).
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это интервал $x \in (-\frac{1}{4}; \frac{5}{6})$.
5. Найдем целые решения. Интервалу $(-0.25; 0.833...)$ принадлежит только одно целое число: 0.
Ответ: 0.

2) Решим неравенство $\frac{2x - 5}{x + 1} < 0$.
1. Нули числителя и знаменателя:
$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5$.
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
2. Отметим выколотые точки $-1$ и $2.5$ на числовой оси.
3. Определим знаки на интервалах. Так как коэффициенты при $x$ в числителе и знаменателе положительны, крайний правый интервал будет иметь знак "+", а остальные знаки будут чередоваться.
4. Решением неравенства является интервал, где выражение отрицательно: $x \in (-1; 2.5)$.
5. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

3) Решим неравенство $\frac{2 - 3x}{2x + 7} > 0$.
1. Для удобства преобразуем неравенство, умножив числитель на -1 и изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{-(3x - 2)}{2x + 7} > 0 \Rightarrow \frac{3x - 2}{2x + 7} < 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5$.
3. Отметим выколотые точки $-3.5$ и $\frac{2}{3}$ на числовой оси.
4. Определим знаки для преобразованного выражения $\frac{3x - 2}{2x + 7}$. Знаки на интервалах: +, -, +.
5. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля: $x \in (-3.5; \frac{2}{3})$.
6. Целые числа, принадлежащие интервалу $(-3.5; 0.666...)$: -3, -2, -1, 0.
Ответ: -3, -2, -1, 0.

4) Решим неравенство $\frac{7x - 5}{4 - x} > 0$.
1. Преобразуем неравенство, вынеся в знаменателе -1 за скобки и умножив на него обе части неравенства (при этом знак неравенства меняется):
$\frac{7x - 5}{-(x - 4)} > 0 \Rightarrow \frac{7x - 5}{x - 4} < 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя:
$7x - 5 = 0 \Rightarrow 7x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{7}$.
$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
3. Отметим выколотые точки $\frac{5}{7}$ и $4$ на числовой оси.
4. Определим знаки для преобразованного выражения $\frac{7x - 5}{x - 4}$. Знаки на интервалах: +, -, +.
5. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля: $x \in (\frac{5}{7}; 4)$.
6. Целые числа, принадлежащие интервалу $(0.714...; 4)$: 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.