Страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

58. Укажите допустимые значения переменной x в выражении:

1) $\sqrt{x^3}$;

2) $\sqrt{x^2 + 1}$;

3) $\sqrt{-x^2}$;

4) $\sqrt{x^4}$;

5) $\sqrt{(4 - x)^2}$;

6) $\sqrt{-x^3}$.

1) $\sqrt{x^3}$

Допустимые значения переменной $x$ для выражения с квадратным корнем определяются условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае это $x^3$. Решаем неравенство: $x^3 \geq 0$ Куб числа неотрицателен тогда и только тогда, когда само число неотрицательно. Следовательно, $x \geq 0$.

Ответ: $x \geq 0$, или $x \in [0; +\infty)$.

2) $\sqrt{x^2 + 1}$

Подкоренное выражение $x^2 + 1$ должно быть неотрицательным: $x^2 + 1 \geq 0$ Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \geq 0$), то сумма $x^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1. $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ Неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $\sqrt{-x^2}$

Подкоренное выражение $-x^2$ должно быть неотрицательным: $-x^2 \geq 0$ Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 \leq 0$ Так как мы знаем, что $x^2 \geq 0$ для любого $x$, единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям ($x^2 \leq 0$ и $x^2 \geq 0$), это $x^2 = 0$. Это означает, что $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

4) $\sqrt{x^4}$

Подкоренное выражение $x^4$ должно быть неотрицательным: $x^4 \geq 0$ Любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), всегда является неотрицательным. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $\sqrt{(4 - x)^2}$

Подкоренное выражение $(4 - x)^2$ должно быть неотрицательным: $(4 - x)^2 \geq 0$ Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $\sqrt{-x^3}$

Подкоренное выражение $-x^3$ должно быть неотрицательным: $-x^3 \geq 0$ Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^3 \leq 0$ Куб числа неположителен тогда и только тогда, когда само число неположительно. Следовательно, $x \leq 0$.

Ответ: $x \leq 0$, или $x \in (-\infty; 0]$.

59. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{4}{\sqrt{x}}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$;

3) $\frac{5}{\sqrt{x-1}}$;

4) $\frac{3x}{x^2-9} + \frac{1}{\sqrt{x-1}}$?

1) Данное выражение $\frac{4}{\sqrt{x}}$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) Данное выражение $\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} + 2 \neq 0$.
Поскольку по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x} \ge 0$, то сумма $\sqrt{x} + 2$ всегда будет больше или равна 2 (т.е. $\sqrt{x} + 2 \ge 2$). Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Таким образом, остается только первое условие.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

3) В выражении $\frac{5}{\sqrt{x - 1}}$ квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, чтобы и корень извлекался, и знаменатель не был равен нулю.
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) Данное выражение $\frac{3x}{x^2 - 9} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл тогда, когда имеют смысл оба слагаемых одновременно.
1. Рассмотрим первое слагаемое $\frac{3x}{x^2 - 9}$. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0$
$x^2 \neq 9$
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
2. Рассмотрим второе слагаемое $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$. Как и в пункте 3, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$x - 1 > 0$
$x > 1$.
Теперь необходимо найти пересечение полученных условий: ($x \neq 3$ и $x \neq -3$) и ($x > 1$).
Условие $x > 1$ автоматически исключает значение $x = -3$. Остается только исключить значение $x = 3$ из интервала $(1; +\infty)$.
Получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

60. Решите уравнение:

1) $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=4$;

2) $\sqrt{2+\sqrt{x-1}}=4.

1) Дано уравнение $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 4$.

Для решения этого иррационального уравнения будем последовательно возводить обе части в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня. При каждом возведении в квадрат необходимо следить за тем, чтобы правая часть уравнения была неотрицательна. В данном случае правые части ($4$, $15$, $223$) всегда положительны, поэтому посторонние корни не появятся.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
1. $x \ge 0$
2. $2 + \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $2 + \sqrt{x} \ge 2$, это выражение всегда положительно.
3. $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}$. Аналогично, это выражение всегда положительно.
Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 4^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 16$

Уединим радикал, перенеся 1 в правую часть:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 16 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 15$

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 15^2$
$2 + \sqrt{x} = 225$

Перенесем 2 в правую часть:
$\sqrt{x} = 225 - 2$
$\sqrt{x} = 223$

Для нахождения $x$ возведем обе части в квадрат в последний раз:
$(\sqrt{x})^2 = 223^2$
$x = 49729$

Полученное значение $x = 49729$ удовлетворяет ОДЗ ($49729 \ge 0$).
Ответ: $49729$.

2) Дано уравнение $\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1}} = 4$.

Решение этого уравнения аналогично предыдущему и заключается в последовательном возведении в квадрат.

Определим ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
1. $x \ge 0$
2. $\sqrt{x} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x} \ge 1 \implies x \ge 1$
3. $2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1}$. Так как $\sqrt{\sqrt{x} - 1} \ge 0$, это выражение всегда положительно.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1}})^2 = 4^2$
$2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1} = 16$

Уединим радикал:
$\sqrt{\sqrt{x} - 1} = 16 - 2$
$\sqrt{\sqrt{x} - 1} = 14$

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\sqrt{x} - 1})^2 = 14^2$
$\sqrt{x} - 1 = 196$

Выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = 196 + 1$
$\sqrt{x} = 197$

Возведем в квадрат, чтобы найти $x$:
$(\sqrt{x})^2 = 197^2$
$x = 38809$

Полученное значение $x = 38809$ удовлетворяет ОДЗ ($38809 \ge 1$).
Ответ: $38809$.

61. Решите неравенства:

1) $(x - 10)(x + 5)(x - 6) \geq 0;$

2) $(x + 2)(x - 7)(x + 11) \leq 0;$

3) $\frac{x + 5}{x - 6} \geq 0;$

4) $\frac{x - 7}{x + 2} \leq 0;$

5) $\frac{x}{x - 7} \geq 2;$

6) $\frac{x}{6 + x} \leq -1;$

7) $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) < 0;$

8) $(x + 3)^2(x + 2)(x + 1) > 0.$

1) Для решения неравенства $(x-10)(x+5)(x-6) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения: $(x-10)(x+5)(x-6) = 0$. Корнями являются $x=-5$, $x=6$ и $x=10$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки будут включены в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными кружками и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно (имеет знак "+").

Ответ: $x \in [-5, 6] \cup [10, \infty)$.

2) Решим неравенство $(x+2)(x-7)(x+11) \le 0$ методом интервалов. Корни уравнения $(x+2)(x-7)(x+11) = 0$ равны $x=-11$, $x=-2$ и $x=7$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки включаются в решение и отмечаются на оси закрашенными кружками.

Выбираем интервалы, где выражение не положительно (имеет знак "−").

Ответ: $x \in (-\infty, -11] \cup [-2, 7]$.

3) Для решения неравенства $\frac{x+5}{x-6} \ge 0$ используем метод интервалов. Находим нуль числителя: $x+5=0 \implies x=-5$. Находим нуль знаменателя: $x-6=0 \implies x=6$. Точка $x=-5$ включается в решение (закрашенный кружок), так как неравенство нестрогое. Точка $x=6$ исключается (выколотый кружок), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (6, \infty)$.

4) Для решения неравенства $\frac{x-7}{x+2} \le 0$ находим нуль числителя $x=7$ и нуль знаменателя $x=-2$. Точка $x=7$ включается в решение, точка $x=-2$ исключается. Отмечаем точки на оси и расставляем знаки.

Выбираем интервал, где выражение не положительно (знак "−").

Ответ: $x \in (-2, 7]$.

5) Сначала преобразуем неравенство $\frac{x}{x-7} \ge 2$, перенеся всё в левую часть: $\frac{x}{x-7} - 2 \ge 0$. Приводим к общему знаменателю: $\frac{x - 2(x-7)}{x-7} \ge 0$, что даёт $\frac{x - 2x + 14}{x-7} \ge 0$, или $\frac{-x+14}{x-7} \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x-14}{x-7} \le 0$. Теперь решаем методом интервалов. Нуль числителя $x=14$ (включается), нуль знаменателя $x=7$ (исключается).

Выбираем интервал со знаком "−".

Ответ: $x \in (7, 14]$.

6) Преобразуем неравенство $\frac{x}{6+x} \le -1$: $\frac{x}{6+x} + 1 \le 0 \implies \frac{x+6+x}{6+x} \le 0 \implies \frac{2x+6}{x+6} \le 0$. Разделим числитель на 2: $\frac{x+3}{x+6} \le 0$. Нуль числителя $x=-3$ (включается), нуль знаменателя $x=-6$ (исключается).

Выбираем интервал со знаком "−".

Ответ: $x \in (-6, -3]$.

7) В неравенстве $(x-1)(x-2)^2(x-3) < 0$ есть множитель $(x-2)^2$, который всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), то $x \ne 2$ (иначе выражение равно 0), и $x \ne 1, x \ne 3$. При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен, и на него можно разделить, сохранив знак неравенства: $(x-1)(x-3) < 0$. Корни этого неравенства $x=1$ и $x=3$. Решением является интервал между корнями: $(1, 3)$. Учитывая, что $x \ne 2$, получаем объединение двух интервалов.

При переходе через точку $x=2$ (корень четной кратности) знак выражения не меняется. Выбираем интервалы со знаком "−".

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

8) В неравенстве $(x+3)^2(x+2)(x+1) > 0$ множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство строгое, поэтому $x \ne -3, x \ne -2, x \ne -1$. При $x \ne -3$ можно разделить на $(x+3)^2 > 0$, получив $(x+2)(x+1) > 0$. Корни этого неравенства $x=-2$ и $x=-1$. Решением является область вне корней: $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$. Исключим из этого решения точку $x=-3$, которая попадает в интервал $(-\infty, -2)$.

При переходе через точку $x=-3$ (корень четной кратности) знак выражения не меняется. Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (-1, \infty)$.

62. С помощью графика квадратичной функции и методом интервалов решите неравенство:

1) $x^2 - 2x - 15 \ge 0;$

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0.$

1) $x^2 - 2x - 15 \ge 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x - 15$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем нули функции, то есть точки пересечения с осью Ox. Для этого решим уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 5$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1$.

3. Схематически изобразим график функции. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -3 и 5.

4. Решим неравенство $x^2 - 2x - 15 \ge 0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции находится выше или на оси Ox ($y \ge 0$). Из графика видно, что это происходит на промежутках, выделенных красным, то есть $(-\infty, -3]$ и $[5, \infty)$.

Решение методом интервалов.

1. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 15$, приравняв его к нулю. Корни, как мы уже нашли, $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

2. Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают ось на три интервала.

3. Определим знак выражения $x^2 - 2x - 15$ в каждом интервале:
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $(-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0$. Знак «+».
- При $-3 < x < 5$ (например, $x=0$): $0^2 - 2(0) - 15 = -15 < 0$. Знак «-».
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0$. Знак «+».

4. Так как мы решаем неравенство $x^2 - 2x - 15 \ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком «+», включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 2x + 15$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = 3$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$.

3. Схематически изобразим график функции. Это парабола с ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках -5 и 3.

4. Решим неравенство $-x^2 - 2x + 15 \le 0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции находится ниже или на оси Ox ($y \le 0$). Из графика видно, что это происходит на промежутках, выделенных красным, то есть $(-\infty, -5]$ и $[3, \infty)$.

Решение методом интервалов.

1. Найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 - 2x + 15$. Как мы уже нашли, это $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

2. Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают ось на три интервала.

3. Определим знак выражения $-x^2 - 2x + 15$ в каждом интервале:
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $-(-6)^2 - 2(-6) + 15 = -36 + 12 + 15 = -9 < 0$. Знак «-».
- При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$): $-0^2 - 2(0) + 15 = 15 > 0$. Знак «+».
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $-(4)^2 - 2(4) + 15 = -16 - 8 + 15 = -9 < 0$. Знак «-».

4. Так как мы решаем неравенство $-x^2 - 2x + 15 \le 0$, нас интересуют интервалы со знаком «-», включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [3, \infty)$.

63. Решите неравенство:

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$;

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$.

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

Корни уравнения, $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 5/2$, разбивают числовую прямую на три интервала. Графиком функции $y = 6x^2 - 13x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 6) положителен.

Следовательно, выражение $6x^2 - 13x - 5$ принимает положительные значения ($>0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Изобразим это на числовой оси (методом интервалов):

Так как неравенство строгое ($>$), корни не включаются в решение (на схеме они отмечены выколотыми точками). Решением неравенства является объединение интервалов, где стоит знак "+".

Ответ: $(-\infty; -1/3) \cup (5/2; +\infty)$

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $4x^2 + 33x - 27 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 33^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 1089 + 432 = 1521$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-72}{8} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Графиком функции $y = 4x^2 + 33x - 27$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$).

Неравенство $4x^2 + 33x - 27 < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Изобразим это на числовой оси:

Так как неравенство строгое ($<$), корни $-9$ и $3/4$ не входят в решение. Решением является интервал, где стоит знак "-".

Ответ: $(-9; 3/4)$

64. Найдите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $\frac{x+1}{x-5} \leq 0;$

2) $\frac{10-x}{x-2} \geq 0.$

1) Для решения неравенства $\frac{x+1}{x-5} \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x-5=0 \implies x=5$.

Точка $x=-1$ является решением, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=5$ решением не является, так как она обращает в ноль знаменатель (на ноль делить нельзя). Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:

- на интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=6 \implies \frac{7}{1} > 0$);

- на интервале $(-1; 5)$ выражение отрицательно (например, при $x=0 \implies \frac{1}{-5} < 0$);

- на интервале $(-\infty; -1)$ выражение положительно (например, при $x=-2 \implies \frac{-1}{-7} > 0$).

Решением неравенства является промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервала $(-1; 5)$ и точки $x=-1$, то есть $x \in [-1; 5)$.

Натуральные числа (целые положительные) из этого промежутка: $1, 2, 3, 4$.

Наименьшим из этих натуральных чисел является 1.

Ответ: 1

2) Для решения неравенства $\frac{10-x}{x-2} \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $10-x=0 \implies x=10$ и $x-2=0 \implies x=2$.

Точка $x=10$ является решением, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=2$ решением не является, так как она обращает в ноль знаменатель. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:

- на интервале $(10; +\infty)$ выражение отрицательно (например, при $x=11 \implies \frac{-1}{9} < 0$);

- на интервале $(2; 10)$ выражение положительно (например, при $x=3 \implies \frac{7}{1} > 0$);

- на интервале $(-\infty; 2)$ выражение отрицательно (например, при $x=0 \implies \frac{10}{-2} < 0$).

Решением неравенства является промежуток, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервала $(2; 10)$ и точки $x=10$, то есть $x \in (2; 10]$.

Натуральные числа из этого промежутка: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Наименьшим из этих натуральных чисел является 3.

Ответ: 3

65. Найдите наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $(2-x)(x-8)^2 \ge 0;$

2) $(x-3)^2(x-9) < 0.

1)

Решим неравенство $(2-x)(x-8)^2 \ge 0$.

Выражение $(x-8)^2$ неотрицательно при любом значении $x$, так как это квадрат. Оно равно нулю при $x=8$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Неравенство выполняется, если:

1. Произведение равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$2-x=0 \implies x=2$.
$(x-8)^2=0 \implies x-8=0 \implies x=8$.
Числа $2$ и $8$ являются решениями неравенства.

2. Произведение строго больше нуля: $(2-x)(x-8)^2 > 0$.
Поскольку $(x-8)^2 > 0$ для всех $x \ne 8$, мы можем разделить обе части неравенства на $(x-8)^2$, сохранив знак неравенства:
$2-x > 0$
$x < 2$

Объединяя все полученные решения, мы имеем $x \le 2$ или $x=8$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, это $1, 2$ и $8$.
Наибольшим из этих натуральных чисел является $8$.

Ответ: 8

2)

Решим неравенство $(x-3)^2(x-9) < 0$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно. Поскольку неравенство строгое, произведение не может быть равно нулю, а значит $x \ne 3$. При $x \ne 3$ множитель $(x-3)^2$ всегда строго положителен.

Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-9)$ был отрицательным, так как $(x-3)^2$ положителен.

Таким образом, мы решаем систему условий:
$\begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ x-9 < 0 \end{cases}$

Первое условие $ (x-3)^2 > 0 $ выполняется при всех $x \ne 3$.
Второе условие $x-9 < 0$ выполняется при $x < 9$.

Общее решение - это все числа, которые меньше $9$, за исключением числа $3$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому решению: $1, 2, 4, 5, 6, 7, 8$.
Наибольшим из этих натуральных чисел является $8$.

Ответ: 8

66. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0;$

2) $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0.$

1) Для решения неравенства $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нули числителя: $x^2 - 81 = 0 \implies (x-9)(x+9) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = -9$ и $x_2 = 9$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются решениями и на числовой оси будут закрашенными.
Нуль знаменателя: $x = 0$. Эта точка не может быть решением, так как деление на ноль недопустимо. На числовой оси она будет выколотой.
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{(x-9)(x+9)}{x}$ в каждом из полученных интервалов.

Неравенство выполняется, когда выражение больше или равно нулю. Из диаграммы видно, что это происходит на интервалах $x \in [-9, 0) \cup [9, +\infty)$.
Нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию. В множестве решений наименьшим целым числом является -9.
Ответ: -9

2) Решим неравенство $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0$.
Для удобства анализа умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{-(7x - x^2)}{x + 7} \ge -1 \cdot 0 \implies \frac{x^2 - 7x}{x + 7} \ge 0$
Теперь решим это эквивалентное неравенство методом интервалов. Разложим числитель на множители: $\frac{x(x-7)}{x+7} \ge 0$.
Нули числителя: $x(x-7) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 7$. Так как неравенство нестрогое, эти точки включаются в решение (закрашенные точки).
Нуль знаменателя: $x+7 = 0 \implies x = -7$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка).
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{x(x-7)}{x+7}$ в каждом интервале.

Решением неравенства $\frac{x(x-7)}{x+7} \ge 0$ (а значит и исходного неравенства) являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю: $x \in (-7, 0] \cup [7, +\infty)$.
Наименьшее целое число из этого множества — это число, следующее за -7. Это число -6.
Ответ: -6

67. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(x+5)(x-6)^2 < 0;$

2) $(x+6)^2(5-x) > 0.$

1) Решим неравенство $(x+5)(x-6)^2 < 0$.

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала найдем нули выражения, стоящего в левой части:

$(x+5)(x-6)^2 = 0$

Это равенство выполняется, если $x+5=0$ или $(x-6)^2=0$. Отсюда получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 6$.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), то эти точки не входят в решение (на числовой оси они будут выколотыми).

Обратим внимание на множитель $(x-6)^2$. Квадрат любого действительного числа (кроме нуля) является положительным числом, то есть $(x-6)^2 > 0$ при $x \ne 6$.

Так как один из множителей ($(x-6)^2$) положителен при $x \ne 6$, то для того, чтобы все произведение было отрицательным, другой множитель ($(x+5)$) должен быть отрицательным.

Таким образом, неравенство сводится к системе:

$ \begin{cases} x+5 < 0 \\ x \ne 6 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $x < -5$. Условие $x \ne 6$ автоматически выполняется, так как любое число, меньшее -5, не равно 6.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $x \in (-\infty; -5)$.

На числовой оси это выглядит так (знаки показывают значение выражения на интервалах):

Требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа в интервале $(-\infty; -5)$ — это ..., -8, -7, -6. Наибольшим из них является -6.

Ответ: -6.

2) Решим неравенство $(x+6)^2(5-x) > 0$.

Найдем нули выражения в левой части: $x_1 = -6$ и $x_2 = 5$. Так как неравенство строгое, эти точки не являются решениями.

Множитель $(x+6)^2$ положителен при всех значениях $x$, кроме $x=-6$.

Чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы второй множитель $(5-x)$ также был положительным, при условии, что $x \ne -6$.

Получаем систему условий:

$ \begin{cases} 5-x > 0 \\ x \ne -6 \end{cases} $

Из первого неравенства имеем $5 > x$, или $x < 5$.

Совмещая оба условия, получаем, что решением является множество всех чисел, меньших 5, за исключением -6. Это можно записать как объединение интервалов: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 5)$.

Изобразим решение на числовой оси:

Нам нужно найти наибольшее целое число из этого множества. Целые числа, которые меньше 5, это 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -7, ... Наибольшим из них является 4. Оно принадлежит интервалу $(-6; 5)$.

Ответ: 4.

68. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 4x \ge 0; \\ x - 12 > 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 6x - x^2 < 0; \\ -4 - x \ge 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases}x^2 - 4x \ge 0 \\x - 12 > 0\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4x \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 4) \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $x$ вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$.
Теперь решим второе неравенство: $x - 12 > 0$.
Перенесем 12 в правую часть: $x > 12$.
Решение второго неравенства: $x \in (12, \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть множеств $(-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ и $(12, \infty)$.
Для наглядности изобразим решения на числовой оси:

Пересечением этих множеств является интервал $(12, \infty)$.
Ответ: $x \in (12, \infty)$.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases}6x - x^2 < 0 \\-4 - x \ge 0\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $6x - x^2 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 6) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x - 6) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
График функции — парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны при $x$ вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.
Теперь решим второе неравенство: $-4 - x \ge 0$.
Перенесем $-x$ в правую часть: $-4 \ge x$, что равносильно $x \le -4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0) \cup (6, \infty)$ и $(-\infty, -4]$.
Изобразим решения на числовой оси:

Пересечением этих множеств является интервал $(-\infty, -4]$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4]$.

69. 1) Найдите наименьшее и наибольшее натуральные числа, которые удовлетворяют системе неравенств: $\begin{cases} -x^2 + 6x + 16 > 0, \\ x^2 - 12x + 27 < 0. \end{cases}$

2) Вычислите значение суммы наименьшего и наибольшего целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0, \\ x^2 + 15x + 36 < 0. \end{cases}$

Решите систему неравенств:

1)

Требуется найти наименьшее и наибольшее натуральные числа, которые удовлетворяют системе неравенств:

$$ \begin{cases} -x^2 + 6x + 16 > 0 \\ x^2 - 12x + 27 < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $-x^2 + 6x + 16 > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x - 16 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-2, 8)$.

Второе неравенство: $x^2 - 12x + 27 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение 27. Корнями являются числа 3 и 9.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 12x + 27 < 0$ выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (3, 9)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-2, 8) \cap (3, 9)$.

Для нахождения пересечения можно воспользоваться числовой осью.

Пересечением является интервал $x \in (3, 8)$.

Натуральные числа, принадлежащие интервалу $(3, 8)$, это 4, 5, 6, 7.

Наименьшее из этих натуральных чисел равно 4, а наибольшее равно 7.

Ответ: наименьшее натуральное число - 4, наибольшее натуральное число - 7.

2)

Требуется вычислить значение суммы наименьшего и наибольшего целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0 \\ x^2 + 15x + 36 < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 + 8x + 7 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + 8x + 7$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 15x + 36 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 36 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -12$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + 15x + 36$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-12, -3)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)) \cap (-12, -3)$.

Пересечением является полуинтервал $x \in (-12, -7]$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -11, -10, -9, -8, -7.

Наименьшее целое число в этом промежутке равно -11.

Наибольшее целое число в этом промежутке равно -7.

Сумма наименьшего и наибольшего целых чисел: $-11 + (-7) = -18$.

Ответ: -18.