Номер 66, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

66. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0;$

2) $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0.$

1) Для решения неравенства $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нули числителя: $x^2 - 81 = 0 \implies (x-9)(x+9) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = -9$ и $x_2 = 9$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются решениями и на числовой оси будут закрашенными.
Нуль знаменателя: $x = 0$. Эта точка не может быть решением, так как деление на ноль недопустимо. На числовой оси она будет выколотой.
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{(x-9)(x+9)}{x}$ в каждом из полученных интервалов.

Неравенство выполняется, когда выражение больше или равно нулю. Из диаграммы видно, что это происходит на интервалах $x \in [-9, 0) \cup [9, +\infty)$.
Нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию. В множестве решений наименьшим целым числом является -9.
Ответ: -9

2) Решим неравенство $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0$.
Для удобства анализа умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{-(7x - x^2)}{x + 7} \ge -1 \cdot 0 \implies \frac{x^2 - 7x}{x + 7} \ge 0$
Теперь решим это эквивалентное неравенство методом интервалов. Разложим числитель на множители: $\frac{x(x-7)}{x+7} \ge 0$.
Нули числителя: $x(x-7) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 7$. Так как неравенство нестрогое, эти точки включаются в решение (закрашенные точки).
Нуль знаменателя: $x+7 = 0 \implies x = -7$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка).
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{x(x-7)}{x+7}$ в каждом интервале.

Решением неравенства $\frac{x(x-7)}{x+7} \ge 0$ (а значит и исходного неравенства) являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю: $x \in (-7, 0] \cup [7, +\infty)$.
Наименьшее целое число из этого множества — это число, следующее за -7. Это число -6.
Ответ: -6