Номер 68, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

68. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 4x \ge 0; \\ x - 12 > 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 6x - x^2 < 0; \\ -4 - x \ge 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases}x^2 - 4x \ge 0 \\x - 12 > 0\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4x \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 4) \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $x$ вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$.
Теперь решим второе неравенство: $x - 12 > 0$.
Перенесем 12 в правую часть: $x > 12$.
Решение второго неравенства: $x \in (12, \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть множеств $(-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ и $(12, \infty)$.
Для наглядности изобразим решения на числовой оси:

Пересечением этих множеств является интервал $(12, \infty)$.
Ответ: $x \in (12, \infty)$.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases}6x - x^2 < 0 \\-4 - x \ge 0\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $6x - x^2 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 6) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x - 6) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
График функции — парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны при $x$ вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.
Теперь решим второе неравенство: $-4 - x \ge 0$.
Перенесем $-x$ в правую часть: $-4 \ge x$, что равносильно $x \le -4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0) \cup (6, \infty)$ и $(-\infty, -4]$.
Изобразим решения на числовой оси:

Пересечением этих множеств является интервал $(-\infty, -4]$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4]$.