Номер 62, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

62. С помощью графика квадратичной функции и методом интервалов решите неравенство:

1) $x^2 - 2x - 15 \ge 0;$

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0.$

1) $x^2 - 2x - 15 \ge 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x - 15$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем нули функции, то есть точки пересечения с осью Ox. Для этого решим уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 5$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1$.

3. Схематически изобразим график функции. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -3 и 5.

4. Решим неравенство $x^2 - 2x - 15 \ge 0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции находится выше или на оси Ox ($y \ge 0$). Из графика видно, что это происходит на промежутках, выделенных красным, то есть $(-\infty, -3]$ и $[5, \infty)$.

Решение методом интервалов.

1. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 15$, приравняв его к нулю. Корни, как мы уже нашли, $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

2. Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают ось на три интервала.

3. Определим знак выражения $x^2 - 2x - 15$ в каждом интервале:
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $(-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0$. Знак «+».
- При $-3 < x < 5$ (например, $x=0$): $0^2 - 2(0) - 15 = -15 < 0$. Знак «-».
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0$. Знак «+».

4. Так как мы решаем неравенство $x^2 - 2x - 15 \ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком «+», включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции.

Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 2x + 15$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = 3$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$.

3. Схематически изобразим график функции. Это парабола с ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках -5 и 3.

4. Решим неравенство $-x^2 - 2x + 15 \le 0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции находится ниже или на оси Ox ($y \le 0$). Из графика видно, что это происходит на промежутках, выделенных красным, то есть $(-\infty, -5]$ и $[3, \infty)$.

Решение методом интервалов.

1. Найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 - 2x + 15$. Как мы уже нашли, это $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

2. Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают ось на три интервала.

3. Определим знак выражения $-x^2 - 2x + 15$ в каждом интервале:
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $-(-6)^2 - 2(-6) + 15 = -36 + 12 + 15 = -9 < 0$. Знак «-».
- При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$): $-0^2 - 2(0) + 15 = 15 > 0$. Знак «+».
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $-(4)^2 - 2(4) + 15 = -16 - 8 + 15 = -9 < 0$. Знак «-».

4. Так как мы решаем неравенство $-x^2 - 2x + 15 \le 0$, нас интересуют интервалы со знаком «-», включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [3, \infty)$.