Номер 60, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

60. Решите уравнение:

1) $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=4$;

2) $\sqrt{2+\sqrt{x-1}}=4.

1) Дано уравнение $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 4$.

Для решения этого иррационального уравнения будем последовательно возводить обе части в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня. При каждом возведении в квадрат необходимо следить за тем, чтобы правая часть уравнения была неотрицательна. В данном случае правые части ($4$, $15$, $223$) всегда положительны, поэтому посторонние корни не появятся.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
1. $x \ge 0$
2. $2 + \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $2 + \sqrt{x} \ge 2$, это выражение всегда положительно.
3. $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}$. Аналогично, это выражение всегда положительно.
Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 4^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 16$

Уединим радикал, перенеся 1 в правую часть:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 16 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 15$

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 15^2$
$2 + \sqrt{x} = 225$

Перенесем 2 в правую часть:
$\sqrt{x} = 225 - 2$
$\sqrt{x} = 223$

Для нахождения $x$ возведем обе части в квадрат в последний раз:
$(\sqrt{x})^2 = 223^2$
$x = 49729$

Полученное значение $x = 49729$ удовлетворяет ОДЗ ($49729 \ge 0$).
Ответ: $49729$.

2) Дано уравнение $\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1}} = 4$.

Решение этого уравнения аналогично предыдущему и заключается в последовательном возведении в квадрат.

Определим ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
1. $x \ge 0$
2. $\sqrt{x} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x} \ge 1 \implies x \ge 1$
3. $2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1}$. Так как $\sqrt{\sqrt{x} - 1} \ge 0$, это выражение всегда положительно.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1}})^2 = 4^2$
$2 + \sqrt{\sqrt{x} - 1} = 16$

Уединим радикал:
$\sqrt{\sqrt{x} - 1} = 16 - 2$
$\sqrt{\sqrt{x} - 1} = 14$

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\sqrt{x} - 1})^2 = 14^2$
$\sqrt{x} - 1 = 196$

Выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = 196 + 1$
$\sqrt{x} = 197$

Возведем в квадрат, чтобы найти $x$:
$(\sqrt{x})^2 = 197^2$
$x = 38809$

Полученное значение $x = 38809$ удовлетворяет ОДЗ ($38809 \ge 1$).
Ответ: $38809$.