Номер 54, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Методом введения новой переменной решите уравнения (54–57):

54. 1) $(x + 1)^2 (x^2 + 2x) = 30;$

2) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x) = 16;$

3) $(x^2 - 2x + 5) (x^2 - 2x - 1) = 16;$

4) $(x^2 + 2x + 3) (x^2 + 2x + 1) = 3.$

1) $(x + 1)² (x² + 2x) = 30$

Раскроем квадрат в левой части уравнения: $(x + 1)² = x² + 2x + 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $(x² + 2x + 1)(x² + 2x) = 30$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x² + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 1)t = 30$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t² + t - 30 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $t₁ \cdot t₂ = -30$ и $t₁ + t₂ = -1$. Отсюда $t₁ = 5$, $t₂ = -6$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 5$.

$x² + 2x = 5$

$x² + 2x - 5 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = b² - 4ac = 2² - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.

Случай 2: $t = -6$.

$x² + 2x = -6$

$x² + 2x + 6 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = b² - 4ac = 2² - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1 - \sqrt{6}; -1 + \sqrt{6}$.

2) $(x - 2)² (x² - 4x) = 16$

Преобразуем выражение в скобках: $x² - 4x = x² - 4x + 4 - 4 = (x - 2)² - 4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (x - 2)²$. Так как $t$ является квадратом выражения, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим замену в уравнение: $t(t - 4) = 16$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t² - 4t - 16 = 0$

Вычислим дискриминант: $D_t = (-4)² - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80$.

Корни уравнения для $t$: $t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}$.

Получаем два значения для $t$: $t₁ = 2 + 2\sqrt{5}$ и $t₂ = 2 - 2\sqrt{5}$.

Проверим условие $t \ge 0$.

Значение $t₁ = 2 + 2\sqrt{5} > 0$, поэтому оно является допустимым корнем.

Значение $t₂ = 2 - 2\sqrt{5} = 2(1-\sqrt{5})$. Так как $\sqrt{5} > 1$, то $1-\sqrt{5} < 0$, и следовательно $t₂ < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и является посторонним.

Выполним обратную замену для допустимого значения $t = 2 + 2\sqrt{5}$.

$(x - 2)² = 2 + 2\sqrt{5}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 2 = \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$

Отсюда находим два корня для $x$:

$x₁ = 2 + \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$ и $x₂ = 2 - \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}; 2 + \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$.

3) $(x² - 2x + 5)(x² - 2x - 1) = 16$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x² - 2x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x² - 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 5)(t - 1) = 16$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t² - t + 5t - 5 = 16$

$t² + 4t - 21 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $t₁ \cdot t₂ = -21$ и $t₁ + t₂ = -4$. Отсюда $t₁ = 3$, $t₂ = -7$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 3$.

$x² - 2x = 3$

$x² - 2x - 3 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x₁ \cdot x₂ = -3$ и $x₁ + x₂ = 2$. Отсюда $x₁ = 3$, $x₂ = -1$.

Случай 2: $t = -7$.

$x² - 2x = -7$

$x² - 2x + 7 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1; 3$.

4) $(x² + 2x + 3)(x² + 2x + 1) = 3$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x² + 2x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x² + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 3)(t + 1) = 3$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$t² + t + 3t + 3 = 3$

$t² + 4t = 0$

$t(t + 4) = 0$

Отсюда находим два корня: $t₁ = 0$ и $t₂ = -4$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 0$.

$x² + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Отсюда $x₁ = 0$, $x₂ = -2$.

Случай 2: $t = -4$.

$x² + 2x = -4$

$x² + 2x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = 2² - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-2; 0$.