Номер 50, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50. При каких значениях параметра a корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

1) $x^2 - (2a - 6)x - 4 = 0;$

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0;$

3) $-4x^2 - (2a^2 - 8)x + 16 = 0;$

4) $0.5x^2 - (a^2 - 16)x - 4 - a = 0?$

Условие "корни равны по модулю, но противоположны по знаку" означает, что если $x_1$ - один корень, то второй корень $x_2 = -x_1$, причем $x_1 \neq 0$.

Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ (где $A \neq 0$) по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -B/A$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = C/A$.

Из условия $x_1 + x_2 = x_1 + (-x_1) = 0$ следует, что $-B/A = 0$, что равносильно $B = 0$. То есть коэффициент при $x$ должен быть равен нулю.

Из условия $x_1 \neq 0$ следует, что произведение корней $x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot (-x_1) = -x_1^2$ должно быть строго отрицательным. Таким образом, $C/A < 0$. Это условие также гарантирует, что уравнение имеет два различных действительных корня (так как дискриминант $D=B^2-4AC = 0-4AC = -4AC > 0$).

Итак, для каждого уравнения ищем значения параметра $a$, при которых одновременно выполняются два условия:
1. Коэффициент при $x$ равен нулю ($B=0$).
2. Отношение свободного члена к старшему коэффициенту отрицательно ($C/A < 0$).

1) $x^2 - (2a - 6)x - 4 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A=1$, $B = -(2a - 6)$, $C = -4$.
1. Приравняем коэффициент $B$ к нулю:
$-(2a - 6) = 0$
$2a - 6 = 0$
$2a = 6$
$a = 3$
2. Проверим условие $C/A < 0$:
$C/A = -4/1 = -4$.
Так как $-4 < 0$, условие выполняется.
Оба условия выполняются при $a=3$.
Ответ: $a=3$.

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A=3$, $B = -(3a + 12)$, $C = -24$.
1. Условие $B=0$:
$-(3a + 12) = 0$
$3a + 12 = 0$
$3a = -12$
$a = -4$
2. Условие $C/A < 0$:
$C/A = -24/3 = -8$.
Так как $-8 < 0$, условие выполняется.
Оба условия выполняются при $a=-4$.
Ответ: $a=-4$.

3) $-4x^2 - (2a^2 - 8)x + 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A=-4$, $B = -(2a^2 - 8)$, $C = 16$.
1. Условие $B=0$:
$-(2a^2 - 8) = 0$
$2a^2 - 8 = 0$
$2a^2 = 8$
$a^2 = 4$
$a = \pm 2$
2. Условие $C/A < 0$:
$C/A = 16/(-4) = -4$.
Так как $-4 < 0$, условие выполняется для любых значений $a$.
Следовательно, подходят оба найденных значения: $a=2$ и $a=-2$.
Ответ: $a = \pm 2$.

4) $0,5x^2 - (a^2 - 16)x - 4 - a = 0$

Коэффициенты уравнения: $A=0.5$, $B = -(a^2 - 16)$, $C = -4 - a$.
1. Условие $B=0$:
$-(a^2 - 16) = 0$
$a^2 - 16 = 0$
$(a-4)(a+4) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $a=4$ и $a=-4$.
2. Условие $C/A < 0$:
$C/A = \frac{-4-a}{0.5} < 0$
$-2(4+a) < 0$
Разделим неравенство на -2, изменив знак на противоположный:
$4+a > 0$
$a > -4$
3. Совместим полученные результаты.
Из найденных на первом шаге значений $a=4$ и $a=-4$ нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $a > -4$.
- Для $a=4$: неравенство $4 > -4$ является верным.
- Для $a=-4$: неравенство $-4 > -4$ является неверным.
Таким образом, подходит только значение $a=4$.
Ответ: $a=4$.