Номер 49, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49. Найдите значения параметра a, при которых один из корней уравнения равен нулю:

1) $2x^2 - x + 3a - 6 = 0;$

2) $x^2 - 4x + a^2 - 16 = 0;$

3) $x^2 - (a + 4)x + 2a^2 - 8 = 0;$

4) $3x^2 - ax + 4a + 6 = 0.$

Чтобы один из корней уравнения был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы при подстановке $x=0$ в уравнение получалось верное равенство. Для любого уравнения вида $f(x)=0$ это означает, что свободный член (коэффициент при $x^0$) должен быть равен нулю. Применим это правило для каждого из данных уравнений.

1) В уравнении $2x^2 - x + 3a - 6 = 0$ свободный член равен $(3a - 6)$. Приравняем его к нулю, чтобы найти значение параметра $a$, при котором один из корней равен нулю:
$3a - 6 = 0$
$3a = 6$
$a = 2$
При $a=2$ уравнение принимает вид $2x^2 - x = 0$, или $x(2x-1)=0$, с корнями $x_1=0$ и $x_2=0.5$.
Ответ: $a=2$.

2) В уравнении $x^2 - 4x + a^2 - 16 = 0$ свободный член равен $(a^2 - 16)$. Приравняем его к нулю:
$a^2 - 16 = 0$
$(a - 4)(a + 4) = 0$
Отсюда получаем два значения для параметра $a$: $a_1 = 4$ и $a_2 = -4$.
При обоих этих значениях уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, или $x(x-4)=0$, с корнями $x_1=0$ и $x_2=4$.
Ответ: $a = -4; a = 4$.

3) В уравнении $x^2 - (a + 4)x + 2a^2 - 8 = 0$ свободный член равен $(2a^2 - 8)$. Приравняем его к нулю:
$2a^2 - 8 = 0$
$2a^2 = 8$
$a^2 = 4$
Отсюда получаем два значения для параметра $a$: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.
При $a=2$ уравнение: $x^2-6x=0$, корни $x_1=0, x_2=6$.
При $a=-2$ уравнение: $x^2-2x=0$, корни $x_1=0, x_2=2$.
Ответ: $a = -2; a = 2$.

4) В уравнении $3x^2 - ax + 4a + 6 = 0$ свободный член равен $(4a + 6)$. Приравняем его к нулю:
$4a + 6 = 0$
$4a = -6$
$a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$
При $a=-1.5$ уравнение принимает вид $3x^2 + 1.5x = 0$, или $x(3x+1.5)=0$, с корнями $x_1=0$ и $x_2=-0.5$.
Ответ: $a = -1.5$.