Номер 56, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

56.

1) $x^2 - 2(\sqrt{x})^2 - 8 = 0;$

2) $x^2 - 2(\sqrt{x - 2})^2 - 7 = 0.$

1) $x^2 - 2(\sqrt{x})^2 - 8 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Теперь упростим исходное уравнение. Используем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$.

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $4$.

2) $x^2 - 2(\sqrt{x-2})^2 - 7 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня не может быть отрицательным:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Упростим уравнение, зная, что $(\sqrt{x-2})^2 = x-2$ при $x \ge 2$.

$x^2 - 2(x-2) - 7 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 4 - 7 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Либо можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 2$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 2$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 2$, значит, это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.