Номер 59, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

59. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{4}{\sqrt{x}}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$;

3) $\frac{5}{\sqrt{x-1}}$;

4) $\frac{3x}{x^2-9} + \frac{1}{\sqrt{x-1}}$?

1) Данное выражение $\frac{4}{\sqrt{x}}$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) Данное выражение $\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} + 2 \neq 0$.
Поскольку по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x} \ge 0$, то сумма $\sqrt{x} + 2$ всегда будет больше или равна 2 (т.е. $\sqrt{x} + 2 \ge 2$). Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Таким образом, остается только первое условие.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

3) В выражении $\frac{5}{\sqrt{x - 1}}$ квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, чтобы и корень извлекался, и знаменатель не был равен нулю.
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) Данное выражение $\frac{3x}{x^2 - 9} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл тогда, когда имеют смысл оба слагаемых одновременно.
1. Рассмотрим первое слагаемое $\frac{3x}{x^2 - 9}$. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0$
$x^2 \neq 9$
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
2. Рассмотрим второе слагаемое $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$. Как и в пункте 3, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$x - 1 > 0$
$x > 1$.
Теперь необходимо найти пересечение полученных условий: ($x \neq 3$ и $x \neq -3$) и ($x > 1$).
Условие $x > 1$ автоматически исключает значение $x = -3$. Остается только исключить значение $x = 3$ из интервала $(1; +\infty)$.
Получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (3; +\infty)$.