Номер 63, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

63. Решите неравенство:

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$;

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$.

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

Корни уравнения, $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 5/2$, разбивают числовую прямую на три интервала. Графиком функции $y = 6x^2 - 13x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 6) положителен.

Следовательно, выражение $6x^2 - 13x - 5$ принимает положительные значения ($>0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Изобразим это на числовой оси (методом интервалов):

Так как неравенство строгое ($>$), корни не включаются в решение (на схеме они отмечены выколотыми точками). Решением неравенства является объединение интервалов, где стоит знак "+".

Ответ: $(-\infty; -1/3) \cup (5/2; +\infty)$

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $4x^2 + 33x - 27 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 33^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 1089 + 432 = 1521$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-72}{8} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Графиком функции $y = 4x^2 + 33x - 27$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$).

Неравенство $4x^2 + 33x - 27 < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Изобразим это на числовой оси:

Так как неравенство строгое ($<$), корни $-9$ и $3/4$ не входят в решение. Решением является интервал, где стоит знак "-".

Ответ: $(-9; 3/4)$