Номер 69, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

69. 1) Найдите наименьшее и наибольшее натуральные числа, которые удовлетворяют системе неравенств: $\begin{cases} -x^2 + 6x + 16 > 0, \\ x^2 - 12x + 27 < 0. \end{cases}$

2) Вычислите значение суммы наименьшего и наибольшего целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0, \\ x^2 + 15x + 36 < 0. \end{cases}$

Решите систему неравенств:

1)

Требуется найти наименьшее и наибольшее натуральные числа, которые удовлетворяют системе неравенств:

$$ \begin{cases} -x^2 + 6x + 16 > 0 \\ x^2 - 12x + 27 < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $-x^2 + 6x + 16 > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x - 16 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-2, 8)$.

Второе неравенство: $x^2 - 12x + 27 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение 27. Корнями являются числа 3 и 9.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 12x + 27 < 0$ выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (3, 9)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-2, 8) \cap (3, 9)$.

Для нахождения пересечения можно воспользоваться числовой осью.

Пересечением является интервал $x \in (3, 8)$.

Натуральные числа, принадлежащие интервалу $(3, 8)$, это 4, 5, 6, 7.

Наименьшее из этих натуральных чисел равно 4, а наибольшее равно 7.

Ответ: наименьшее натуральное число - 4, наибольшее натуральное число - 7.

2)

Требуется вычислить значение суммы наименьшего и наибольшего целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0 \\ x^2 + 15x + 36 < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 + 8x + 7 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + 8x + 7$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 15x + 36 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 36 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -12$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + 15x + 36$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-12, -3)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)) \cap (-12, -3)$.

Пересечением является полуинтервал $x \in (-12, -7]$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -11, -10, -9, -8, -7.

Наименьшее целое число в этом промежутке равно -11.

Наибольшее целое число в этом промежутке равно -7.

Сумма наименьшего и наибольшего целых чисел: $-11 + (-7) = -18$.

Ответ: -18.