Номер 72, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

72.

1) Решите неравенство $ \frac{2x}{x - 1} + \frac{3x - 1}{x^2 - 4} < 2 $ и найдите сумму целых решений неравенства, принадлежащих отрезку [-3; 1];

2) решите неравенство $ \frac{2x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^2 - 4} < 2 $ и найдите сумму целых решений, принадлежащих отрезку [-4; 0].

1)

Сначала решим неравенство $\frac{2x}{x-1} + \frac{3x-1}{x^2-4} < 2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x}{x-1} + \frac{3x-1}{x^2-4} - 2 < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x^2-4) = (x-1)(x-2)(x+2)$:

$\frac{2x(x^2-4) + (3x-1)(x-1) - 2(x-1)(x^2-4)}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(2x^3 - 8x) + (3x^2 - 3x - x + 1) - 2(x^3 - 4x - x^2 + 4) < 0$

$2x^3 - 8x + 3x^2 - 4x + 1 - 2x^3 + 2x^2 + 8x - 8 < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$5x^2 - 4x - 7$

Неравенство принимает вид:

$\frac{5x^2 - 4x - 7}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Корни знаменателя: $x = -2$, $x = 1$, $x = 2$.

Найдем корни числителя, решив уравнение $5x^2 - 4x - 7 = 0$:

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(5)(-7) = 16 + 140 = 156$.

Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{156}}{10} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5}$.

Примерные значения корней: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5} \approx \frac{2 - 6.24}{5} \approx -0.85$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5} \approx \frac{2 + 6.24}{5} \approx 1.65$.

Расположим все корни на числовой оси: $-2$, $\frac{2 - \sqrt{39}}{5}$, $1$, $\frac{2 + \sqrt{39}}{5}$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов.

Выбираем интервалы со знаком "минус":

$x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{2 - \sqrt{39}}{5}; 1) \cup (\frac{2 + \sqrt{39}}{5}; 2)$

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-3; 1]$.

1. Пересечение $(-\infty; -2)$ с $[-3; 1]$ дает $[-3; -2)$. Целое решение: $x = -3$.

2. Пересечение $(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}; 1)$ с $[-3; 1]$ дает $(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}; 1)$. Так как $-1 < \frac{2 - \sqrt{39}}{5} < 0$, целое решение: $x = 0$.

3. Пересечение $(\frac{2 + \sqrt{39}}{5}; 2)$ с $[-3; 1]$ не содержит целых чисел.

Целые решения на отрезке $[-3; 1]$: $\{-3, 0\}$.

Найдем их сумму: $-3 + 0 = -3$.

Ответ: -3.

2)

Сначала решим неравенство $\frac{2x}{x-1} + \frac{x-1}{x^2-4} < 2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x}{x-1} + \frac{x-1}{x^2-4} - 2 < 0$

ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)(x+2)$:

$\frac{2x(x^2-4) + (x-1)(x-1) - 2(x-1)(x^2-4)}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(2x^3 - 8x) + (x^2 - 2x + 1) - 2(x^3 - x^2 - 4x + 4) < 0$

$2x^3 - 8x + x^2 - 2x + 1 - 2x^3 + 2x^2 + 8x - 8 < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$3x^2 - 2x - 7$

Неравенство принимает вид:

$\frac{3x^2 - 2x - 7}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Корни знаменателя: $x = -2$, $x = 1$, $x = 2$.

Найдем корни числителя, решив уравнение $3x^2 - 2x - 7 = 0$:

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(3)(-7) = 4 + 84 = 88$.

Корни: $x = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}$.

Примерные значения корней: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{22}}{3} \approx \frac{1 - 4.69}{3} \approx -1.23$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3} \approx \frac{1 + 4.69}{3} \approx 1.9$.

Расположим все корни на числовой оси: $-2$, $\frac{1 - \sqrt{22}}{3}$, $1$, $\frac{1 + \sqrt{22}}{3}$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов.

Выбираем интервалы со знаком "минус":

$x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; 2)$

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-4; 0]$.

1. Пересечение $(-\infty; -2)$ с $[-4; 0]$ дает $[-4; -2)$. Целые решения: $x = -4, x = -3$.

2. Пересечение $(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1)$ с $[-4; 0]$ дает $(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 0]$. Так как $-2 < \frac{1 - \sqrt{22}}{3} < -1$, целые решения: $x = -1, x = 0$.

3. Пересечение $(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; 2)$ с $[-4; 0]$ не содержит целых чисел.

Целые решения на отрезке $[-4; 0]$: $\{-4, -3, -1, 0\}$.

Найдем их сумму: $-4 + (-3) + (-1) + 0 = -8$.

Ответ: -8.