Номер 78, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите наибольшее и наименьшее значения (78–80):

78.

1) $f(x) = x^2 - 4;$

2) $f(x) = 2x^2 - 1,5;$

3) $f(x) = -4x^2 + 1;$

4) $f(x) = -1,5x^2 - 0,5.$

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 4$. Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$ и $c=-4$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент $a=1$ положителен ($a>0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине, но не ограничена сверху, то есть не имеет наибольшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ находятся по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = f(x_v)$. Для данной функции:

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Наименьшее значение функции (ордината вершины) равно:

$y_{наим} = f(0) = 0^2 - 4 = -4$.

Так как при $x \to \pm\infty$, значение $f(x) \to +\infty$, наибольшего значения у функции не существует. Область значений функции: $E(f) = [-4; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-4$; наибольшего значения не существует.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^2 - 1,5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$.

Так как $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине и не имеет наибольшего значения.

Вершина параболы вида $f(x) = ax^2+c$ находится в точке $(0, c)$. В нашем случае вершина находится в точке с абсциссой $x_v = 0$.

Наименьшее значение функции равно значению в этой точке:

$y_{наим} = f(0) = 2 \cdot 0^2 - 1,5 = -1,5$.

Поскольку ветви параболы уходят вверх до бесконечности, наибольшего значения не существует. Область значений функции: $E(f) = [-1,5; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-1,5$; наибольшего значения не существует.

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = -4x^2 + 1$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-4$.

Так как $a=-4 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине, но не ограничена снизу, то есть не имеет наименьшего значения.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = 0$.

Наибольшее значение функции (ордината вершины) равно:

$y_{наиб} = f(0) = -4 \cdot 0^2 + 1 = 1$.

Так как при $x \to \pm\infty$, значение $f(x) \to -\infty$, наименьшего значения у функции не существует. Область значений функции: $E(f) = (-\infty; 1]$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $1$; наименьшего значения не существует.

4)

Рассмотрим функцию $f(x) = -1,5x^2 - 0,5$. Это квадратичная функция с коэффициентом $a=-1,5$.

Поскольку $a=-1,5 < 0$, ветви параболы, являющейся графиком функции, направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине и не имеет наименьшего значения.

Абсцисса вершины параболы $x_v = 0$.

Наибольшее значение функции равно:

$y_{наиб} = f(0) = -1,5 \cdot 0^2 - 0,5 = -0,5$.

Поскольку ветви параболы уходят вниз до бесконечности, наименьшего значения не существует. Область значений функции: $E(f) = (-\infty; -0,5]$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-0,5$; наименьшего значения не существует.