Номер 81, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (81—83):

81. 1) $y = \sqrt{x - 4}$; 2) $y = \sqrt{x + 4,5}$;

3) $y = 1 + \sqrt{3 - 4x}$; 4) $y = 2 + \sqrt{5 - 2x}$.

1) $y = \sqrt{x - 4}$

Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Область определения функции (ОДЗ): Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0$ $x \ge 4$ $D(y) = [4; +\infty)$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: Найдем несколько точек для построения. Начальная точка графика (вершина) находится там, где подкоренное выражение равно нулю.

• При $x = 4$, $y = \sqrt{4 - 4} = 0$. Точка $(4, 0)$.
• При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(5, 1)$.
• При $x = 8$, $y = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(8, 2)$.
• При $x = 13$, $y = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(13, 3)$.

Соединим точки плавной линией. График представляет собой ветвь параболы, направленную вправо.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4}$ построен.

2) $y = \sqrt{x + 4,5}$

Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 4,5 единицы влево вдоль оси Ox.

Область определения функции (ОДЗ): $x + 4,5 \ge 0$ $x \ge -4,5$ $D(y) = [-4,5; +\infty)$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: Найдем ключевые точки.

• При $x = -4,5$, $y = \sqrt{-4,5 + 4,5} = 0$. Точка $(-4,5; 0)$.
• При $x = -0,5$, $y = \sqrt{-0,5 + 4,5} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-0,5; 2)$.
• При $x = 4,5$, $y = \sqrt{4,5 + 4,5} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(4,5; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 4,5}$ построен.

3) $y = 1 + \sqrt{3 - 4x}$

Преобразуем функцию: $y - 1 = \sqrt{-4(x - 3/4)}$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ следующими преобразованиями: 1. Сжатие к оси OY в 4 раза: $y=\sqrt{4x}$. 2. Симметричное отражение относительно оси OY: $y=\sqrt{-4x}$. 3. Сдвиг на 3/4 единицы вправо: $y=\sqrt{-4(x-3/4)}$. 4. Сдвиг на 1 единицу вверх: $y = 1 + \sqrt{-4(x-3/4)}$.

Область определения функции (ОДЗ): $3 - 4x \ge 0$ $3 \ge 4x$ $x \le 3/4$ или $x \le 0,75$ $D(y) = (-\infty; 0,75]$.

Область значений функции: Так как $\sqrt{3-4x} \ge 0$, то $1 + \sqrt{3-4x} \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.

Построение графика: Вершина параболы находится в точке, где подкоренное выражение равно нулю.

• При $x = 0,75$, $y = 1 + \sqrt{3 - 4 \cdot 0,75} = 1 + 0 = 1$. Точка $(0,75; 1)$.
• При $x = -0,25$, $y = 1 + \sqrt{3 - 4(-0,25)} = 1 + \sqrt{4} = 3$. Точка $(-0,25; 3)$.
• При $x = -3,25$, $y = 1 + \sqrt{3 - 4(-3,25)} = 1 + \sqrt{16} = 5$. Точка $(-3,25; 5)$.

График - ветвь параболы, выходящая из точки $(0,75; 1)$ и идущая влево и вверх.

Ответ: График функции $y = 1 + \sqrt{3 - 4x}$ построен.

4) $y = 2 + \sqrt{5 - 2x}$

Преобразуем функцию: $y - 2 = \sqrt{-2(x - 5/2)}$. График получается из $y=\sqrt{x}$ путем сжатия к OY в 2 раза, отражения относительно OY, сдвига на 2,5 вправо и на 2 вверх.

Область определения функции (ОДЗ): $5 - 2x \ge 0$ $5 \ge 2x$ $x \le 2,5$ $D(y) = (-\infty; 2,5]$.

Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.

Построение графика: Найдем координаты ключевых точек.

• Вершина: при $x = 2,5$, $y = 2 + \sqrt{5 - 2 \cdot 2,5} = 2 + 0 = 2$. Точка $(2,5; 2)$.
• При $x = 0,5$, $y = 2 + \sqrt{5 - 2(0,5)} = 2 + \sqrt{4} = 4$. Точка $(0,5; 4)$.
• При $x = -2$, $y = 2 + \sqrt{5 - 2(-2)} = 2 + \sqrt{9} = 5$. Точка $(-2; 5)$.

График - ветвь параболы, выходящая из точки $(2,5; 2)$ и идущая влево и вверх.

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{5 - 2x}$ построен.