Номер 71, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

71. 1) Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} |2x - 3| \le 1, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}$

2) Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств: $\begin{cases} |2x + 5| < 3, \\ x^2 - 5x - 24 \le 0. \end{cases}$

1)

Для решения системы неравенств $\begin{cases}|2x - 3| \le 1, \\x^2 + x > 0,\end{cases}$необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

Сначала решим первое неравенство: $|2x - 3| \le 1$.
Данное неравенство с модулем равносильно системе (или двойному неравенству):
$-1 \le 2x - 3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-1 + 3 \le 2x \le 1 + 3$
$2 \le 2x \le 4$
Разделим все части на 2:
$1 \le x \le 2$
Таким образом, решение первого неравенства есть промежуток $x \in [1, 2]$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+1)=0$, это $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [1, 2]$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Общим решением системы является промежуток $x \in [1, 2]$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому промежутку, это 1 и 2.

Найдем сумму этих целых чисел:
$1 + 2 = 3$.

Ответ: 3

2)

Для решения системы неравенств$\begin{cases}|2x + 5| \le 3, \\x^2 - 5x - 24 \le 0,\end{cases}$также решим каждое неравенство отдельно.

Решим первое неравенство: $|2x + 5| \le 3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 \le 2x + 5 \le 3$
Вычтем 5 из всех частей:
$-3 - 5 \le 2x \le 3 - 5$
$-8 \le 2x \le -2$
Разделим все части на 2:
$-4 \le x \le -1$
Решение первого неравенства есть промежуток $x \in [-4, -1]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x - 24 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$ с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
$x_{1} = \frac{5 - 11}{2} = -3$
$x_{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8$
Парабола $y = x^2 - 5x - 24$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
Решение второго неравенства есть промежуток $x \in [-3, 8]$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-4, -1]$ и $x \in [-3, 8]$.
Общим решением системы является промежуток $x \in [-3, -1]$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -3, -2, -1.

Ответ: -3, -2, -1