Номер 57, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

57.

1) $(x^2 - 25)\sqrt{3 - x} = 0;$

2) $(x^2 - 36)\sqrt{5 - 2x} = 0;$

3) $(49 - x^2)\sqrt{5 - x} = 0;$

4) $(64 - x^2)\sqrt{3x - 8} = 0.$

1) $(x^2 - 25)\sqrt{3 - x} = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 3]$.

Теперь решим уравнение, рассмотрев два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.
$x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.
$\sqrt{3 - x} = 0$
$3 - x = 0$
$x_3 = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \le 3$).
Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $5 \le 3$, следовательно, он не является решением уравнения.
Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $-5 \le 3$, следовательно, это решение.
Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию $3 \le 3$, следовательно, это также решение.

Ответ: $-5; 3$.

2) $(x^2 - 36)\sqrt{5 - 2x} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$5 - 2x \ge 0$
$5 \ge 2x$
$x \le \frac{5}{2}$
$x \le 2.5$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2.5]$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 - 36 = 0$
$x^2 = 36$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

2) $\sqrt{5 - 2x} = 0$
$5 - 2x = 0$
$2x = 5$
$x_3 = 2.5$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 2.5$).
Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 2.5$, значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 \le 2.5$, значит, это корень уравнения.
Корень $x_3 = 2.5$ удовлетворяет условию $2.5 \le 2.5$, значит, это тоже корень.

Ответ: $-6; 2.5$.

3) $(49 - x^2)\sqrt{5 - x} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$5 - x \ge 0$
$x \le 5$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 5]$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $49 - x^2 = 0$
$x^2 = 49$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$.

2) $\sqrt{5 - x} = 0$
$5 - x = 0$
$x_3 = 5$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 5$).
Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 \le 5$, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -7$ удовлетворяет условию $-7 \le 5$, это корень уравнения.
Корень $x_3 = 5$ удовлетворяет условию $5 \le 5$, это также корень уравнения.

Ответ: $-7; 5$.

4) $(64 - x^2)\sqrt{3x - 8} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$3x - 8 \ge 0$
$3x \ge 8$
$x \ge \frac{8}{3}$
ОДЗ: $x \in [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $64 - x^2 = 0$
$x^2 = 64$
$x_1 = 8$, $x_2 = -8$.

2) $\sqrt{3x - 8} = 0$
$3x - 8 = 0$
$3x = 8$
$x_3 = \frac{8}{3}$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge \frac{8}{3}$).
Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge \frac{8}{3}$ (так как $8 = \frac{24}{3}$), значит, это корень.
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 \ge \frac{8}{3}$, это посторонний корень.
Корень $x_3 = \frac{8}{3}$ удовлетворяет условию $\frac{8}{3} \ge \frac{8}{3}$, это также корень.

Ответ: $\frac{8}{3}; 8$.