Номер 48, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.

1) $x^2 - 2|x| - 48 = 0$;

2) $3x^2 - 2|x| + 3x - 8 = 0$;

3) $x^2 - 2|x - 2| - 46 = 0$;

4) $-2x^2 + 2|x + 2| + 4 = 0$.

1) $x^2 - 2|x| - 48 = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Данное уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 2|x| - 48 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Получаем уравнение: $t^2 - 2t - 48 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-48$.
Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -6$.
Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет этому условию. Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = t_1 = 8$.
Из этого уравнения следует, что $x = 8$ или $x = -8$.
Ответ: $\{-8, 8\}$.

2) $3x^2 - 2|x| + 3x - 8 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$3x^2 - 2x + 3x - 8 = 0$
$3x^2 + x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 1 + 96 = 97$.
Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{6}$.
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{6}$. Так как $\sqrt{97} > \sqrt{1} = 1$, то $-1 + \sqrt{97} > 0$. Следовательно, $x_1 > 0$, и этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{6}$. Этот корень отрицателен, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$3x^2 - 2(-x) + 3x - 8 = 0$
$3x^2 + 2x + 3x - 8 = 0$
$3x^2 + 5x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x = \frac{-5 \pm 11}{6}$.
$x_3 = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{-5 - 11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем два решения.
Ответ: $\{-\frac{8}{3}, \frac{-1 + \sqrt{97}}{6}\}$.

3) $x^2 - 2|x - 2| - 46 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
Случай 1: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Тогда $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(x - 2) - 46 = 0$
$x^2 - 2x + 4 - 46 = 0$
$x^2 - 2x - 42 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 4 + 168 = 172$.
Корни уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{172}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{43}}{2} = 1 \pm \sqrt{43}$.
$x_1 = 1 + \sqrt{43}$. Так как $\sqrt{43} > \sqrt{1} = 1$, то $1 + \sqrt{43} > 2$. Этот корень подходит.
$x_2 = 1 - \sqrt{43}$. Так как $\sqrt{43} > 1$, то $1 - \sqrt{43} < 0$, что меньше 2. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(2 - x) - 46 = 0$
$x^2 - 4 + 2x - 46 = 0$
$x^2 + 2x - 50 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 4 + 200 = 204$.
Корни уравнения: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{204}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{51}}{2} = -1 \pm \sqrt{51}$.
$x_3 = -1 + \sqrt{51}$. Так как $\sqrt{51} > \sqrt{9} = 3$, то $-1 + \sqrt{51} > -1 + 3 = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 2$.
$x_4 = -1 - \sqrt{51}$. Этот корень очевидно меньше 2, поэтому он подходит.
Объединяя результаты, получаем два решения.
Ответ: $\{-1 - \sqrt{51}, 1 + \sqrt{43}\}$.

4) $-2x^2 + 2|x + 2| + 4 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на $-2$:
$x^2 - |x + 2| - 2 = 0$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - (x + 2) - 2 = 0$
$x^2 - x - 4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Корни уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > 0$, то $x_1 > \frac{1}{2}$, что больше $-2$. Этот корень подходит.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Проверим, выполняется ли условие $x_2 \ge -2$: $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \ge -2 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{17} \ge -4 \Leftrightarrow 5 \ge \sqrt{17} \Leftrightarrow 25 \ge 17$. Неравенство верное, значит, этот корень тоже подходит.
Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.
Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - (-(x + 2)) - 2 = 0$
$x^2 + x + 2 - 2 = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда $x_3 = 0$ и $x_4 = -1$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < -2$, поэтому в этом случае решений нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, найденные в первом случае.
Ответ: $\{\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$.