Номер 46, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения, содержащие переменную под знаком модуля (46—48):

46. 1) $-|x| - 2x + 5 = 3 - x;$

2) $3|x| + 5x + 5 = 4 - x;$

3) $4|x| - 7x + 12 = 3 + 4x;$

4) $2|x| - 4x = 13 - 3x.$

1) Исходное уравнение: $-|x| - 2x + 5 = 3 - x$.
Сначала упростим уравнение, собрав все члены с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$-|x| - 2x + x = 3 - 5$
$-|x| - x = -2$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от лишних минусов:
$|x| + x = 2$
Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$x + x = 2$
$2x = 2$
$x = 1$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 0$. Так как $1 \ge 0$, это верное решение.
Случай 2: $x < 0$
В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$-x + x = 2$
$0 = 2$
Получено неверное равенство, что означает, что при $x < 0$ уравнение не имеет решений.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: $x = 1$.

2) Исходное уравнение: $3|x| + 5x + 5 = 4 - x$.
Упростим уравнение:
$3|x| + 5x + x = 4 - 5$
$3|x| + 6x = -1$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$3x + 6x = -1$
$9x = -1$
$x = -1/9$
Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $-1/9 < 0$, это решение не удовлетворяет условию данного случая, поэтому оно является посторонним корнем.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$3(-x) + 6x = -1$
$-3x + 6x = -1$
$3x = -1$
$x = -1/3$
Проверяем условие $x < 0$. Так как $-1/3 < 0$, это решение удовлетворяет условию.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $x = -1/3$.

3) Исходное уравнение: $4|x| - 7x + 12 = 3 + 4x$.
Упростим уравнение:
$4|x| - 7x - 4x = 3 - 12$
$4|x| - 11x = -9$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4x - 11x = -9$
$-7x = -9$
$x = 9/7$
Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $9/7 \ge 0$, это решение является корнем уравнения.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4(-x) - 11x = -9$
$-4x - 11x = -9$
$-15x = -9$
$x = 9/15 = 3/5$
Проверяем условие $x < 0$. Так как $3/5 > 0$, это решение не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.
Уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 9/7$.

4) Исходное уравнение: $2|x| - 4x = 13 - 3x$.
Упростим уравнение:
$2|x| - 4x + 3x = 13$
$2|x| - x = 13$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$2x - x = 13$
$x = 13$
Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $13 \ge 0$, это решение является корнем.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$2(-x) - x = 13$
$-2x - x = 13$
$-3x = 13$
$x = -13/3$
Проверяем условие $x < 0$. Так как $-13/3 < 0$, это решение также является корнем.
В данном случае уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 13$, $x_2 = -13/3$.