Номер 18.18, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.18. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $x^2 - 11x + 24$;

2) $-x^2 - 8x + 20$;

3) $3x^2 - 15x - 42$;

4) $-5x^2 - 21x + 62$.

1) Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Рассмотрим трехчлен $x^2 - 11x + 24$. Здесь $a=1, b=-11, c=24$.
Найдем корни, решив уравнение $x^2 - 11x + 24 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = 8$.
Подставляем найденные корни в формулу разложения:
$x^2 - 11x + 24 = 1 \cdot (x - 3)(x - 8) = (x - 3)(x - 8)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 8)$.

2) Рассмотрим трехчлен $-x^2 - 8x + 20$. Здесь $a=-1, b=-8, c=20$.
Найдем корни уравнения $-x^2 - 8x + 20 = 0$. Для удобства умножим обе части на $-1$:
$x^2 + 8x - 20 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 - 12}{2} = -10$.
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.
Подставляем корни и коэффициент $a=-1$ в формулу разложения:
$-x^2 - 8x + 20 = -1 \cdot (x - (-10))(x - 2) = -(x + 10)(x - 2)$.
Ответ: $-(x + 10)(x - 2)$.

3) Рассмотрим трехчлен $3x^2 - 15x - 42$.
Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(x^2 - 5x - 14)$.
Теперь разложим на множители трехчлен $x^2 - 5x - 14$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Разложение трехчлена в скобках: $(x - (-2))(x - 7) = (x + 2)(x - 7)$.
Итоговое разложение исходного трехчлена:
$3x^2 - 15x - 42 = 3(x + 2)(x - 7)$.
Ответ: $3(x + 2)(x - 7)$.

4) Рассмотрим трехчлен $-5x^2 - 21x + 62$. Здесь $a=-5, b=-21, c=62$.
Найдем корни уравнения $-5x^2 - 21x + 62 = 0$. Умножим на $-1$:
$5x^2 + 21x - 62 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 21^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-62) = 441 + 1240 = 1681$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-21 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{-62}{10} = -\frac{31}{5}$.
$x_2 = \frac{-21 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
Подставляем корни и коэффициент $a=-5$ в формулу разложения:
$-5x^2 - 21x + 62 = -5(x - (-\frac{31}{5}))(x - 2) = -5(x + \frac{31}{5})(x - 2)$.
Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $-5$ в первую скобку:
$-5(x + \frac{31}{5}) = -5x - 5 \cdot \frac{31}{5} = -5x - 31$.
Получаем разложение: $(-5x - 31)(x - 2)$.
Вынеся знак минус из первой скобки, получим: $-(5x + 31)(x - 2)$.
Ответ: $-(5x + 31)(x - 2)$.