Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В таблице 25 задана выборка температуры воздуха через каждые три часа (с 3 ч и до 24 ч):

Таблица 25

Время: 3 ч, 6 ч, 9 ч, 12 ч, 15 ч, 18 ч, 21 ч, 24 ч

t°C: 13°C, 12°C, 15°C, 17°C, 18°C, 20°C, 18°C, 14°C

1) Чему равен объем выборки?

2) Найдите среднее значение температуры в течение суток.

3) Найдите размах выборки.

2. Что показывает отклонение случайной величины от ее среднего арифметического?

3. Как составляется таблица абсолютных и относительных частот для выборки?

4. Как составляется таблица относительных частот случайной величины $X^2$?

5. По какой формуле находится дисперсия?

1. В таблице 25 задана выборка температуры воздуха через каждые три часа (с 3 ч и до 24 ч):

Исходные данные (выборка): 13, 12, 15, 17, 18, 20, 18, 14.

1) Чему равен объем выборки?

Объем выборки – это количество элементов в ней. В данном случае, это количество измерений температуры, которое проводилось в течение суток. Посчитаем количество значений в таблице.

В таблице представлено 8 измерений температуры.

Ответ: Объем выборки равен 8.

2) Найдите среднее значение температуры в течение суток.

Среднее значение выборки (или выборочное среднее) находится как среднее арифметическое всех ее элементов. Для этого нужно сложить все значения температуры и разделить полученную сумму на объем выборки (количество измерений).

Формула для среднего значения $\bar{x}$:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Сумма всех значений температуры:

$13 + 12 + 15 + 17 + 18 + 20 + 18 + 14 = 127$

Объем выборки $n = 8$.

Среднее значение:

$\bar{x} = \frac{127}{8} = 15.875$ °C

Ответ: Среднее значение температуры в течение суток составляет 15,875 °C.

3) Найдите размах выборки.

Размах выборки – это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. Сначала найдем эти значения.

Максимальное значение ($x_{max}$): 20 °C

Минимальное значение ($x_{min}$): 12 °C

Размах ($R$) вычисляется по формуле:

$R = x_{max} - x_{min}$

$R = 20 - 12 = 8$ °C

Ответ: Размах выборки равен 8 °C.

2. Что показывает отклонение случайной величины от ее среднего арифметического?

Отклонение случайной величины от ее среднего арифметического значения ($x_i - \bar{x}$) показывает, на сколько конкретное значение ($x_i$) из выборки отличается от среднего значения ($\bar{x}$) всей выборки. Знак отклонения указывает на направление этого отличия: положительное отклонение означает, что значение больше среднего, а отрицательное – что оно меньше среднего. Величина отклонения (его модуль) показывает степень удаленности значения от центра распределения данных (среднего арифметического). Таким образом, отклонение является мерой разброса каждого отдельного значения относительно центральной тенденции.

Ответ: Отклонение показывает, на сколько и в какую сторону (больше или меньше) конкретное значение случайной величины отличается от ее среднего арифметического.

3. Как составляется таблица абсолютных и относительных частот для выборки?

Таблица абсолютных и относительных частот (частотная таблица) составляется в несколько шагов:

1. Упорядочивание данных. Сначала все значения выборки записываются в порядке возрастания. Этот ряд называется вариационным. Для нашей выборки: 12, 13, 14, 15, 17, 18, 18, 20.

2. Определение вариант. Выписываются все уникальные значения из выборки. Каждое такое значение называется вариантой ($x_i$). Варианты: 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20.

3. Подсчет абсолютных частот. Для каждой варианты подсчитывается, сколько раз она встречается в исходной выборке. Это число называется абсолютной частотой ($n_i$). Сумма всех абсолютных частот равна объему выборки ($N$).

4. Вычисление относительных частот. Для каждой варианты ее абсолютная частота делится на общий объем выборки. Это значение называется относительной частотой ($W_i = \frac{n_i}{N}$). Сумма всех относительных частот всегда равна 1.

5. Составление таблицы. Полученные данные заносятся в таблицу, которая обычно содержит три столбца: варианта ($x_i$), абсолютная частота ($n_i$) и относительная частота ($W_i$).

Пример для данной выборки (объем $N = 8$):

Ответ: Таблица составляется путем определения уникальных значений выборки (вариант), подсчета их абсолютных частот (количества повторений) и вычисления относительных частот (отношения абсолютной частоты к объему выборки).

4. Как составляется таблица относительных частот случайной величины X²?

Таблица относительных частот для случайной величины $X^2$ составляется аналогично таблице для $X$, но с предварительным преобразованием данных.

1. Преобразование данных. Каждое значение $x_i$ из исходной выборки возводится в квадрат. Получается новый набор данных, состоящий из значений $x_i^2$.

2. Определение вариант для $X^2$. Из нового набора данных ($x_i^2$) выписываются все уникальные значения в порядке возрастания.

3. Подсчет абсолютных частот для $X^2$. Для каждой уникальной варианты $x_i^2$ подсчитывается, сколько раз она встречается в преобразованном наборе данных. Это ее абсолютная частота $n_i$.

4. Вычисление относительных частот для $X^2$. Для каждой варианты $x_i^2$ ее абсолютная частота делится на общий объем выборки $N$ (объем выборки не меняется). Получается относительная частота $W_i = \frac{n_i}{N}$.

5. Составление таблицы. В таблицу заносятся столбцы: варианта ($x_i^2$), абсолютная частота ($n_i$) и относительная частота ($W_i$).

Ответ: Для составления таблицы относительных частот случайной величины $X^2$ необходимо сначала возвести в квадрат каждое значение исходной выборки, а затем для полученного нового ряда данных найти уникальные значения (варианты), их абсолютные и относительные частоты.

5. По какой формуле находится дисперсия?

Дисперсия – это мера разброса данных, которая показывает среднее значение квадратов отклонений вариант от их среднего арифметического. Выборочная дисперсия ($D_B$ или $s^2$) вычисляется по следующей формуле:

$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

где:

• $x_i$ – i-я варианта выборки;
• $\bar{x}$ – среднее значение выборки;
• $n_i$ – абсолютная частота i-й варианты;
• $N$ – объем выборки ($\sum n_i = N$);
• $k$ - количество уникальных вариант.

Если данные не сгруппированы (т.е. рассматривается каждое значение из выборки), формула выглядит так:

$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}{N}$

Существует также удобная для вычислений формула:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N} - (\bar{x})^2$

Она означает, что дисперсия равна среднему значению квадратов вариант минус квадрат среднего значения.

Ответ: Дисперсия находится по формуле $D_B = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$, которая представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего.

17.1. Ученик в первой четверти по 12 предметам получил среднюю оценку 3,5. По какому количеству предметов он должен улучшить отметку на 1 балл, чтобы его средняя стала равной 4?

17.1. Пусть $x$ — искомое количество предметов, по которым ученик должен улучшить оценку на 1 балл.
Изначально у ученика 12 предметов со средней оценкой 3,5. Сумма всех его оценок ($S_1$) составляет:
$S_1 = 12 \times 3.5 = 42$ балла.
Чтобы средняя оценка стала равной 4 по тем же 12 предметам, новая сумма оценок ($S_2$) должна быть:
$S_2 = 12 \times 4 = 48$ баллов.
Необходимое увеличение общей суммы баллов составляет:
$\Delta S = S_2 - S_1 = 48 - 42 = 6$ баллов.
Так как по каждому из $x$ предметов оценка улучшается на 1 балл, общее увеличение суммы баллов составит $x \times 1 = x$.
Следовательно, мы можем приравнять необходимое увеличение суммы баллов к $x$:
$x = 6$.

Можно также решить задачу, составив уравнение. Новая средняя оценка получается делением новой суммы баллов ($42 + x$) на количество предметов (12):
$\frac{42 + x}{12} = 4$
$42 + x = 4 \times 12$
$42 + x = 48$
$x = 48 - 42$
$x = 6$
Таким образом, ученик должен улучшить оценки по 6 предметам.
Ответ: 6.

17.2. В 8(а) и 8(б) классах провели медицинское обследование. При этом измеряли массу учеников (с точностью до 5 кг). Результаты (в кг) представлены в таблице 26.

Таблица 26

1) Найдите среднее значение измерений в каждом классе.

2) Каков размах измерений в каждом классе?

1) Найдите среднее значение измерений в каждом классе.

Среднее значение (или среднее арифметическое) ряда данных - это сумма всех значений, деленная на их количество. Формула для нахождения среднего значения $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
где $x_1, x_2, ..., x_n$ – значения данных, а $n$ – их количество.

Для 8(а) класса:
Данные (в кг): 60, 55, 65, 45, 70, 65, 60, 70, 50, 65, 60.
Количество учеников $n = 11$.
Сумма масс: $60+55+65+45+70+65+60+70+50+65+60 = 665$ кг.
Среднее значение: $\bar{x}_{8а} = \frac{665}{11} \approx 60.45$ кг.

Для 8(б) класса:
Данные (в кг): 50, 55, 70, 60, 65, 60, 70, 60, 55, 60, 75.
Количество учеников $n = 11$.
Сумма масс: $50+55+70+60+65+60+70+60+55+60+75 = 680$ кг.
Среднее значение: $\bar{x}_{8б} = \frac{680}{11} \approx 61.82$ кг.

Ответ: среднее значение массы в 8(а) классе составляет примерно 60.45 кг, а в 8(б) классе — примерно 61.82 кг.

2) Каков размах измерений в каждом классе?

Размах измерений - это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. Формула для нахождения размаха $R$:
$R = x_{max} - x_{min}$
где $x_{max}$ – максимальное значение, а $x_{min}$ – минимальное значение.

Для 8(а) класса:
Наибольшее значение: $x_{max} = 70$ кг.
Наименьшее значение: $x_{min} = 45$ кг.
Размах: $R_{8а} = 70 - 45 = 25$ кг.

Для 8(б) класса:
Наибольшее значение: $x_{max} = 75$ кг.
Наименьшее значение: $x_{min} = 50$ кг.
Размах: $R_{8б} = 75 - 50 = 25$ кг.

Ответ: размах измерений в 8(а) классе равен 25 кг, в 8(б) классе — 25 кг.

17.3. Ученик по алгебре за I четверть получил оценки, представленные в таблице 27.

Таблица 27

Оценка 2 3 4 5

Абсолютная частота 1 3 7 1

1) Найдите объем генеральной совокупности оценок ученика.

2) Найдите среднее значение его оценок.

3) Какую оценку получил ученик за четверть?

1) Найдите объем генеральной совокупности оценок ученика.
Объем генеральной совокупности – это общее количество всех данных в выборке, то есть общее число оценок, полученных учеником. Чтобы найти его, необходимо сложить все абсолютные частоты, указанные в таблице.
Абсолютные частоты для оценок 2, 3, 4 и 5 равны 1, 3, 7 и 1 соответственно.
Сложим эти значения:
$N = 1 + 3 + 7 + 1 = 12$
Следовательно, объем генеральной совокупности (общее количество оценок) равен 12.
Ответ: 12.

2) Найдите среднее значение его оценок.
Среднее значение оценок (или среднее арифметическое взвешенное) вычисляется как сумма произведений каждой оценки на ее частоту, деленная на общее количество оценок.
Формула для среднего значения $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{\text{сумма всех оценок}}{\text{количество всех оценок}} = \frac{\sum ( \text{оценка} \cdot \text{частота} )}{\sum \text{частота}}$
Вычислим сумму произведений оценок на их частоты:
$(2 \cdot 1) + (3 \cdot 3) + (4 \cdot 7) + (5 \cdot 1) = 2 + 9 + 28 + 5 = 44$
Общее количество оценок мы нашли в предыдущем пункте, оно равно 12.
Теперь найдем среднее значение:
$\bar{x} = \frac{44}{12} = \frac{11}{3} \approx 3,666...$
Округлим результат до сотых: $3,67$.
Ответ: $\approx 3,67$.

3) Какую оценку получил ученик за четверть?
Оценка за четверть, как правило, выставляется на основе среднего значения всех оценок, округленного до целого числа по стандартным математическим правилам.
Среднее значение оценок ученика составляет примерно $3,67$.
Так как первая цифра после запятой (6) больше 5, округление производится в большую сторону.
$3,67 \approx 4$
Таким образом, ученик получил за четверть оценку "4".
Ответ: 4.