Номер 16.8, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.8. Один тракторист может вспахать поле на 24 часа быстрее, чем другой тракторист. Если это поле они будут пахать вместе, то работу выполнят за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому из них для вспашки поля?

Пусть время, за которое первый тракторист может вспахать поле в одиночку, равно $x$ часов. Поскольку он вспахивает поле на 24 часа быстрее второго, время второго тракториста на ту же работу составит $x + 24$ часов.

Производительность труда (скорость выполнения работы) первого тракториста равна $\frac{1}{x}$ поля в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+24}$ поля в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}$ поля в час.

Известно, что всю работу (вспашку одного поля) они выполняют вместе за 35 часов. Составим уравнение, исходя из формулы Работа = Производительность × Время:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}) \cdot 35 = 1$

Разделим обе части уравнения на 35:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x+24+x}{x(x+24)} = \frac{1}{35}$

$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$35 \cdot (2x+24) = 1 \cdot (x^2+24x)$

$70x + 840 = x^2 + 24x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$

$x^2 - 46x - 840 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$

$x_1 = \frac{-(-46) + 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 74}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-46) - 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 74}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое первому трактористу для вспашки поля, составляет $x = 60$ часов.

Время, необходимое второму трактористу, составляет $x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.

Ответ: первому трактористу для вспашки поля требуется 60 часов, а второму — 84 часа.