Номер 16.9, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.9. Решите неравенство:

1) $(x-2)^2 < 9$;

2) $(x+3)^2 > 4$;

3) $| |x| - 2 | \le 4$;

4) $| |x| - 6 | < 4$.

1) Дано неравенство $(x-2)^2 < 9$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это правило, получаем:
$\sqrt{(x-2)^2} < \sqrt{9}$
$|x-2| < 3$
Неравенство вида $|f(x)| < c$ (где $c>0$) равносильно двойному неравенству $-c < f(x) < c$. В нашем случае это:
$-3 < x-2 < 3$
Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем трём частям неравенства:
$-3 + 2 < x < 3 + 2$
$-1 < x < 5$
Таким образом, решением является интервал.
Ответ: $x \in (-1; 5)$.

2) Дано неравенство $(x+3)^2 > 4$. Аналогично первому пункту, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\sqrt{(x+3)^2} > \sqrt{4}$
$|x+3| > 2$
Неравенство вида $|f(x)| > c$ (где $c>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > c$ или $f(x) < -c$. В нашем случае это:
$\left[ \begin{gathered} x+3 > 2 \\ x+3 < -2 \end{gathered} \right.$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x+3 > 2 \implies x > 2 - 3 \implies x > -1$
2) $x+3 < -2 \implies x < -2 - 3 \implies x < -5$
Объединяя полученные решения, получаем множество.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$.

3) Дано неравенство $||x| - 2| \le 4$. Сначала раскроем внешний модуль. Неравенство вида $|f(x)| \le c$ (где $c \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-c \le f(x) \le c$. Применим это правило:
$-4 \le |x| - 2 \le 4$
Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:
$-4 + 2 \le |x| \le 4 + 2$
$-2 \le |x| \le 6$
Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} |x| \ge -2 \\ |x| \le 6 \end{cases}$
Первое неравенство, $|x| \ge -2$, выполняется для любого действительного числа $x$, так как модуль любого числа всегда неотрицателен, а значит, больше или равен -2.
Второе неравенство, $|x| \le 6$, равносильно двойному неравенству $-6 \le x \le 6$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть $x \in [-6; 6]$.
Ответ: $x \in [-6; 6]$.

4) Дано неравенство $||x| - 6| < 4$. Раскроем внешний модуль. Неравенство вида $|f(x)| < c$ равносильно двойному неравенству $-c < f(x) < c$:
$-4 < |x| - 6 < 4$
Прибавим 6 ко всем частям неравенства:
$-4 + 6 < |x| < 4 + 6$
$2 < |x| < 10$
Это двойное неравенство для модуля эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} |x| > 2 \\ |x| < 10 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $|x| > 2$ эквивалентно $x < -2$ или $x > 2$. Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
2) $|x| < 10$ эквивалентно $-10 < x < 10$. Решение: $x \in (-10; 10)$.
Итоговое решение — это пересечение множеств решений этих двух неравенств. На числовой прямой это соответствует интервалам от -10 до -2 и от 2 до 10.
Ответ: $x \in (-10; -2) \cup (2; 10)$.