Номер 16.10, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.10. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел:

1) 6 и 12;

2) $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$;

3) $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$.

Для нахождения среднего арифметического и среднего геометрического двух чисел используются следующие определения:

Среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ — это их сумма, деленная на два: $M_a = \frac{a + b}{2}$.

Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ — это квадратный корень из их произведения: $M_g = \sqrt{ab}$.

Применим эти формулы для каждой пары чисел.

1) 6 и 12

Находим среднее арифметическое чисел 6 и 12:

$M_a = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Находим среднее геометрическое чисел 6 и 12:

$M_g = \sqrt{6 \cdot 12} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: среднее арифметическое равно 9, среднее геометрическое равно $6\sqrt{2}$.

2) $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$

Находим среднее арифметическое чисел $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$. Сначала упростим $\sqrt{60}$:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Теперь вычислим среднее арифметическое:

$M_a = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{60}}{2} = \frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

Находим среднее геометрическое чисел $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$:

$M_g = \sqrt{\sqrt{15} \cdot \sqrt{60}} = \sqrt{\sqrt{15 \cdot 60}} = \sqrt{\sqrt{900}} = \sqrt{30}$

Ответ: среднее арифметическое равно $\frac{3\sqrt{15}}{2}$, среднее геометрическое равно $\sqrt{30}$.

3) $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$

Находим среднее арифметическое чисел $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$:

$M_a = \frac{\sqrt{16,9} + \sqrt{0,1}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{169}{10}} + \sqrt{\frac{1}{10}}}{2} = \frac{\frac{13}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}}}{2} = \frac{\frac{14}{\sqrt{10}}}{2} = \frac{7}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{10}$.

Находим среднее геометрическое чисел $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$:

$M_g = \sqrt{\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{0,1}} = \sqrt{\sqrt{16,9 \cdot 0,1}} = \sqrt{\sqrt{1,69}} = \sqrt{1,3}$

Ответ: среднее арифметическое равно $\frac{7\sqrt{10}}{10}$, среднее геометрическое равно $\sqrt{1,3}$.