Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.3. При измерении размеров березовых листьев получены следующие результаты длины листа (в сантиметрах): 5,2; 4,9; 5,2; 4,8; 4,9; 5,0; 4,8; 4,9; 5,0; 5,0; 5,3; 4,8; 4,9; 5,0; 5,5; 4,9; 5,1; 5,0; 5,1; 5,4; 5,1; 5,5; 5,4; 5,4; 5,3; 5,0; 5,1; 5,3; 4,9; 5,3. По этим данным построена гистограмма (рис. 26).

Количество листьев

Размеры листьев (см)

Рис. 26

1) Какое количество листьев березы измерено при исследовании?

2) Каких размеров листьев березы больше всего в природе?

3) Найдите накопленную частоту листьев березы размеров от 5,2 до 5,3 см.

В задаче представлена гистограмма распределения размеров березовых листьев. Для ответа на вопросы будем использовать данные с этой гистограммы.

1) Какое количество листьев березы измерено при исследовании?
Для того чтобы найти общее количество измеренных листьев, необходимо сложить количество листьев в каждой группе (интервале размеров), указанное на гистограмме. Высота каждого столбца соответствует количеству листьев (частоте) в данном интервале.
Количество листьев по интервалам:

• Интервал 4,8–4,9 см: 8 листьев
• Интервал 5,0–5,1 см: 10 листьев
• Интервал 5,2–5,3 см: 6 листьев
• Интервал 5,4–5,5 см: 5 листьев

Суммируем эти значения: $8 + 10 + 6 + 5 = 29$.
Таким образом, всего было измерено 29 листьев.
Ответ: 29.

2) Каких размеров листьев березы больше всего в природе?
Чтобы определить, листья каких размеров встречаются чаще всего, нужно найти на гистограмме столбец с наибольшей высотой. Этот столбец соответствует модальному интервалу, то есть диапазону значений с наибольшей частотой.
Самый высокий столбец на гистограмме соответствует интервалу размеров от 5,0 до 5,1 см. Его высота равна 10, что является максимальной частотой среди всех групп.
Следовательно, согласно данным исследования, чаще всего встречаются листья размером от 5,0 до 5,1 см.
Ответ: 5,0–5,1 см.

3) Найдите накопленную частоту листьев березы размеров от 5,2 до 5,3 см.
Накопленная частота для определенного интервала — это сумма частоты этого интервала и частот всех предыдущих интервалов.
Сначала определим частоты для каждого интервала до 5,3 см включительно:

• Частота для интервала 4,8–4,9 см: 8
• Частота для интервала 5,0–5,1 см: 10
• Частота для интервала 5,2–5,3 см: 6

Теперь сложим эти частоты, чтобы найти накопленную частоту для интервала 5,2–5,3 см:
Накопленная частота = $8 + 10 + 6 = 24$.
Это означает, что 24 листа имеют длину 5,3 см или меньше.
Ответ: 24.

15.4. Составьте вариационный ряд для следующих данных расхода топлива (в л/100км): 6; 9,7; 9,9; 8,5; 9,9; 8,9; 10; 9,1; 9,7; 9,9; 7,7; 8,2; 9,8; 7,1; 9,4; 10,6; 8,3. Разбейте полученный вариационный ряд на интервалы; составьте интервальную таблицу частот и постройте гистограмму.

Составление вариационного ряда
Исходные данные представляют собой выборку из 17 значений расхода топлива (в л/100км): 6; 9,7; 9,9; 8,5; 9,9; 8,9; 10; 9,1; 9,7; 9,9; 7,7; 8,2; 9,8; 7,1; 9,4; 10,6; 8,3.
Для составления вариационного ряда необходимо расположить эти значения в порядке неубывания (возрастания).
Ответ: Вариационный ряд: 6; 7,1; 7,7; 8,2; 8,3; 8,5; 8,9; 9,1; 9,4; 9,7; 9,7; 9,8; 9,9; 9,9; 9,9; 10; 10,6.

Разбиение на интервалы и составление интервальной таблицы частот
Для построения интервальной таблицы частот сначала определим основные параметры выборки.
Объем выборки: $n = 17$.
Минимальное значение: $x_{min} = 6,0$.
Максимальное значение: $x_{max} = 10,6$.
Размах выборки: $R = x_{max} - x_{min} = 10,6 - 6,0 = 4,6$.
Число интервалов $k$ определим по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3,322 \cdot \lg(n) = 1 + 3,322 \cdot \lg(17) \approx 1 + 3,322 \cdot 1,23 \approx 5,08$.
Примем число интервалов $k=5$.
Длину интервала $h$ можно определить как $h = R/k = 4,6/5 = 0,92$. Для удобства построения и анализа округлим длину интервала до $h=1,0$.
За начальную точку первого интервала возьмем $x_{start} = 6,0$. Тогда интервалы будут следующими: [6,0; 7,0), [7,0; 8,0), [8,0; 9,0), [9,0; 10,0), [10,0; 11,0]. Границы интервалов определяются по принципу $[a, b)$, где левая граница включается в интервал, а правая — нет. Последний интервал включает обе границы $[a, b]$, чтобы в него попало максимальное значение выборки.
Далее подсчитаем частоту ($m_i$) — количество значений выборки, попавших в каждый интервал.
Ответ: Было выбрано 5 интервалов с шагом $h=1,0$. Интервальная таблица частот имеет следующий вид:
Интервал [6,0; 7,0) — Частота: 1
Интервал [7,0; 8,0) — Частота: 2
Интервал [8,0; 9,0) — Частота: 4
Интервал [9,0; 10,0) — Частота: 8
Интервал [10,0; 11,0] — Частота: 2

Построение гистограммы
Гистограмма частот — это столбчатая диаграмма, которая состоит из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, а высоты пропорциональны частотам этих интервалов. На оси абсцисс откладываются интервалы расхода топлива, а на оси ординат — соответствующие им частоты.
Ответ:

15.5. Составьте вариационный ряд для данных о потреблении электроэнергии (в киловаттах) в семье за 12 месяцев: 102; 108; 99; 108; 109; 99; 102; 105; 108; 102; 108; 112. Разбейте полученный вариационный ряд на интервалы; составьте интервальную таблицу частот и постройте гистограмму.

Составление вариационного ряда

Исходный набор данных о потреблении электроэнергии (в кВт⋅ч) за 12 месяцев: 102; 108; 99; 108; 109; 99; 102; 105; 108; 102; 108; 112.

Вариационный ряд — это последовательность данных, упорядоченная по возрастанию. Объем выборки (количество данных) $n = 12$.

Упорядочим предоставленные значения от меньшего к большему:

99, 99, 102, 102, 102, 105, 108, 108, 108, 108, 109, 112.

Ответ: Вариационный ряд: 99, 99, 102, 102, 102, 105, 108, 108, 108, 108, 109, 112.

Разбиение на интервалы и составление интервальной таблицы частот

Чтобы сгруппировать данные, разобьем вариационный ряд на интервалы.

1. Найдем размах выборки $R$ — разницу между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями.

$x_{max} = 112$, $x_{min} = 99$.

$R = x_{max} - x_{min} = 112 - 99 = 13$.

2. Определим количество интервалов $k$. Для выборки объемом $n=12$ целесообразно выбрать 4 или 5 интервалов. Выберем $k=5$ для большей наглядности.

3. Вычислим ширину интервала $h$. Рекомендуемая ширина $h \approx R/k = 13/5 = 2.6$. Округлим это значение до целого для удобства, например, $h=3$.

4. Определим границы интервалов. Начнем с числа, немного меньшего $x_{min}$, например, 98. Получим следующие 5 интервалов: [98; 101), [101; 104), [104; 107), [107; 110), [110; 113).

5. Составим интервальную таблицу частот, подсчитав, сколько значений из вариационного ряда попадает в каждый интервал (частота $m_i$).

В интервал [98; 101) попадают значения 99, 99. Частота: 2.
В интервал [101; 104) попадают значения 102, 102, 102. Частота: 3.
В интервал [104; 107) попадает значение 105. Частота: 1.
В интервал [107; 110) попадают значения 108, 108, 108, 108, 109. Частота: 5.
В интервал [110; 113) попадает значение 112. Частота: 1.

Проверим сумму частот: $2 + 3 + 1 + 5 + 1 = 12$, что равно объему выборки.

Итоговая интервальная таблица частот:

Ответ: Данные сгруппированы в 5 интервалов шириной 3 кВт⋅ч. Интервальная таблица частот представлена выше.

Построение гистограммы

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, которая наглядно представляет распределение данных. По горизонтальной оси откладываются интервалы, а высота столбцов соответствует частотам этих интервалов.

Ответ: Гистограмма частот построена и представлена выше.

15.6. Результаты забега участников соревнования по бегу на дистанцию в 100 м среди учащихся 8 класса получены следующие результаты (в секундах): 16; 17; 14; 15; 14; 16; 15; 17; 18; 18; 16; 17; 16; 18; 16; 17; 18; 19; 20; 17; 18; 15. Представьте полученные данные в виде вариационного ряда. Разбейте полученный вариационный ряд на интервалы; составьте интервальную таблицу частот и постройте гистограмму.

Исходные данные представляют собой результаты забега 22 участников соревнований по бегу на дистанцию 100 м (в секундах):

16; 17; 14; 15; 14; 16; 15; 17; 18; 18; 16; 17; 16; 18; 16; 17; 18; 19; 20; 17; 18; 15.

Общий объем выборки $n = 22$.

Вариационный ряд – это упорядоченный по возрастанию ряд данных. Для этого отсортируем все полученные результаты от наименьшего к наибольшему.

Ответ: 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 20.

Для разбиения ряда на интервалы сначала найдем его размах. Размах $R$ – это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.

Минимальное значение: $x_{min} = 14$.

Максимальное значение: $x_{max} = 20$.

Размах: $R = x_{max} - x_{min} = 20 - 14 = 6$.

Количество интервалов $k$ можно определить по формуле Стерджесса: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)$, где $n$ – объем выборки. Для $n=22$ получаем $k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(22) \approx 1 + 3.322 \cdot 1.342 \approx 5.45$. Округлим до ближайшего целого, например, $k=5$ или $k=4$.

Выберем количество интервалов $k=4$ для удобства. Тогда ширина каждого интервала $h$ будет равна $h = R/k = 6/4 = 1.5$. Для простоты и наглядности выберем ширину интервала, равную 2 секундам. Это даст нам $k = R/h = 6/2 = 3$ интервала, но чтобы покрыть весь диапазон, мы можем взять 4 интервала.

Определим интервалы так, чтобы они начинались с минимального значения 14 и имели ширину 2. Будем использовать полуинтервалы вида $[a, b)$, где левая граница включается в интервал, а правая — нет.

Ответ: Выбранные интервалы:
1. $[14; 16)$
2. $[16; 18)$
3. $[18; 20)$
4. $[20; 22)$

Теперь подсчитаем, сколько результатов (частоту) попадает в каждый из определенных интервалов.
Используем вариационный ряд: 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 20.

• Интервал $[14; 16)$ включает значения 14 и 15. Частота: 2 (для 14) + 3 (для 15) = 5.
• Интервал $[16; 18)$ включает значения 16 и 17. Частота: 5 (для 16) + 5 (для 17) = 10.
• Интервал $[18; 20)$ включает значения 18 и 19. Частота: 5 (для 18) + 1 (для 19) = 6.
• Интервал $[20; 22)$ включает значение 20. Частота: 1 (для 20) = 1.

Суммарная частота: $5 + 10 + 6 + 1 = 22$, что совпадает с общим числом участников.

Ответ:

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, где основание каждого столбца равно ширине интервала, а высота — частоте попадания в этот интервал. По оси абсцисс откладываются интервалы времени, а по оси ординат — частоты.

Ответ: