Номер 14.33, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (14.33–14.36):

14.33. 1) $y = \frac{-2x^3}{\sqrt{x^2}} + 2x - 3$;

2) $y = \frac{3x^3}{(\sqrt{x})^2} - 2x + 3$;

3) $y = \frac{-x^3}{\sqrt{x^2}} + 2|x| - 3$.

1) $y = \frac{-2x^3}{\sqrt{x^2}} + 2x - 3$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sqrt{x^2} \neq 0$, что означает $|x| \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$: $y = \frac{-2x^3}{|x|} + 2x - 3$.

Рассмотрим два случая:

А) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-2x^3}{x} + 2x - 3 = -2x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-2)} = \frac{1}{2}$. $y_v = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 3 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 3 = -0.5 - 2 = -2.5$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}; -2.5)$.

Б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-2x^3}{-x} + 2x - 3 = 2x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(2)} = -\frac{1}{2}$. $y_v = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) - 3 = 2(\frac{1}{4}) - 1 - 3 = 0.5 - 4 = -3.5$. Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{2}; -3.5)$.

Точка $x=0$ не входит в область определения. При $x \to 0$ с обеих сторон, $y \to -3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0; -3)$.

Строим график, состоящий из двух частей двух парабол.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ это часть параболы $y = -2x^2 + 2x - 3$ с вершиной в точке $(\frac{1}{2}; -2.5)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = 2x^2 + 2x - 3$ с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}; -3.5)$. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотая точка $(0; -3)$.

2) $y = \frac{3x^3}{(\sqrt{x})^2} - 2x + 3$

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Знаменатель $(\sqrt{x})^2 = x$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции в ее области определения: $y = \frac{3x^3}{x} - 2x + 3 = 3x^2 - 2x + 3$.

Графиком функции является часть параболы $y = 3x^2 - 2x + 3$, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(3)} = \frac{1}{3}$. $y_v = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + 3 = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} + 3 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 3 = \frac{8}{3}$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}; \frac{8}{3})$.

Поскольку $x > 0$, точка $x=0$ не входит в область определения. При $x \to 0^+$, $y \to 3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0; 3)$.

Строим график.

Ответ: График функции является частью параболы $y = 3x^2 - 2x + 3$ при $x > 0$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}; \frac{8}{3})$. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотая точка $(0; 3)$.

3) $y = \frac{-x^3}{\sqrt{x^2}} + 2|x| - 3$

Область определения функции та же, что и в первом задании: $x \neq 0$, так как $\sqrt{x^2} = |x| \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции: $y = \frac{-x^3}{|x|} + 2|x| - 3$.

Рассмотрим два случая:

А) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x^3}{x} + 2x - 3 = -x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. $y_v = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$. Вершина параболы находится в точке $(1; -2)$.

Б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x^3}{-x} + 2(-x) - 3 = x^2 - 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$. Координата $x_v=1$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$, поэтому на этом промежутке мы имеем дело с убывающей ветвью параболы.

Точка $x=0$ не входит в область определения. При $x \to 0$ с обеих сторон, $y \to -3$. На графике будет выколотая точка $(0; -3)$.

Строим график.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ это часть параболы $y = -x^2 + 2x - 3$ с вершиной в точке $(1; -2)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = x^2 - 2x - 3$. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотая точка $(0; -3)$.