Номер 14.29, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.29.

1) $y = (x + 1)^3 - (x + 2)^3;$

2) $y = (x - 1)^3 - (x - 2)^3;$

3) $y = (x - 1)^2(x - 2) - (x - 2)^2(x - 1).$

1) Раскроем кубы, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
Для первого слагаемого $(x+1)^3$ имеем: $a=x$, $b=1$.
$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
Для второго слагаемого $(x+2)^3$ имеем: $a=x$, $b=2$.
$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$y = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 + 6x^2 + 12x + 8)$
$y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) + (3x^2 - 6x^2) + (3x - 12x) + (1 - 8)$
$y = -3x^2 - 9x - 7$
Ответ: $y = -3x^2 - 9x - 7$.

2) Раскроем кубы, используя формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
Для первого слагаемого $(x-1)^3$ имеем: $a=x$, $b=1$.
$(x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Для второго слагаемого $(x-2)^3$ имеем: $a=x$, $b=2$.
$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$y = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)$
$y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) + (-3x^2 + 6x^2) + (3x - 12x) + (-1 + 8)$
$y = 3x^2 - 9x + 7$
Ответ: $y = 3x^2 - 9x + 7$.

3) Упростим выражение, вынеся общий множитель за скобки. Общим множителем является $(x-1)(x-2)$.
$y = (x - 1)^2(x - 2) - (x - 2)^2(x - 1) = (x-1)(x-2) \cdot [(x-1) - (x-2)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$(x-1) - (x-2) = x - 1 - x + 2 = 1$
Подставим результат обратно в выражение:
$y = (x-1)(x-2) \cdot 1$
Теперь раскроем скобки в оставшемся произведении:
$y = x \cdot x + x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$y = x^2 - 3x + 2$
Ответ: $y = x^2 - 3x + 2$.