Номер 2, страница 3 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 2, страница 3.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $(x - 2)(x - 11) - 2x(4 - 3x);$

2) $(a + 6)(a - 3) + (a - 4)(a + 5);$

3) $(y - 8)(2y - 1) - (3y + 1)(5y - 2);$

4) $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3);$

5) $(7a - 5b)(7a + 5b) - (4a + 7b)^2;$

6) $(y - 2)(y + 3) - (y - 1)^2 + (5 - y)(y + 5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x - 2)(x - 11) - 2x(4 - 3x)$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки. Первые две скобки перемножим по правилу умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого), а во втором слагаемом умножим одночлен $-2x$ на многочлен в скобках.
$(x - 2)(x - 11) = x \cdot x + x \cdot (-11) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-11) = x^2 - 11x - 2x + 22 = x^2 - 13x + 22$.
$-2x(4 - 3x) = -2x \cdot 4 - 2x \cdot (-3x) = -8x + 6x^2$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 - 13x + 22) + (-8x + 6x^2) = x^2 - 13x + 22 - 8x + 6x^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + 6x^2) + (-13x - 8x) + 22 = 7x^2 - 21x + 22$.

Ответ: $7x^2 - 21x + 22$

2) $(a + 6)(a - 3) + (a - 4)(a + 5)$

Раскроем скобки в каждом произведении многочленов:
$(a^2 - 3a + 6a - 18) + (a^2 + 5a - 4a - 20)$.

Приведем подобные слагаемые внутри каждой группы скобок:
$(a^2 + 3a - 18) + (a^2 + a - 20)$.

Теперь сложим два многочлена, убрав скобки и приведя подобные слагаемые:
$a^2 + 3a - 18 + a^2 + a - 20 = (a^2 + a^2) + (3a + a) + (-18 - 20) = 2a^2 + 4a - 38$.

Ответ: $2a^2 + 4a - 38$

3) $(y - 8)(2y - 1) - (3y + 1)(5y - 2)$

Раскроем скобки в каждом произведении:
$(y \cdot 2y - y \cdot 1 - 8 \cdot 2y - 8 \cdot (-1)) - (3y \cdot 5y + 3y \cdot (-2) + 1 \cdot 5y + 1 \cdot (-2))$
$= (2y^2 - y - 16y + 8) - (15y^2 - 6y + 5y - 2)$.

Приведем подобные слагаемые в каждой группе скобок:
$(2y^2 - 17y + 8) - (15y^2 - y - 2)$.

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак минус, и приведем подобные слагаемые:
$2y^2 - 17y + 8 - 15y^2 + y + 2 = (2y^2 - 15y^2) + (-17y + y) + (8 + 2) = -13y^2 - 16y + 10$.

Ответ: $-13y^2 - 16y + 10$

4) $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3)$

Для упрощения этого выражения используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = (x^2 - x^2) + 4x + (4 + 9) = 4x + 13$.

Ответ: $4x + 13$

5) $(7a - 5b)(7a + 5b) - (4a + 7b)^2$

Здесь также применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов и квадрат суммы.
$(7a - 5b)(7a + 5b) = (7a)^2 - (5b)^2 = 49a^2 - 25b^2$.
$(4a + 7b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 7b + (7b)^2 = 16a^2 + 56ab + 49b^2$.

Подставим результаты в исходное выражение:
$(49a^2 - 25b^2) - (16a^2 + 56ab + 49b^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$49a^2 - 25b^2 - 16a^2 - 56ab - 49b^2 = (49a^2 - 16a^2) - 56ab + (-25b^2 - 49b^2) = 33a^2 - 56ab - 74b^2$.

Ответ: $33a^2 - 56ab - 74b^2$

6) $(y - 2)(y + 3) - (y - 1)^2 + (5 - y)(y + 5)$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:
$(y - 2)(y + 3) = y^2 + 3y - 2y - 6 = y^2 + y - 6$.
$(y - 1)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 - 2y + 1$ (формула квадрата разности).
$(5 - y)(y + 5) = (5 - y)(5 + y) = 5^2 - y^2 = 25 - y^2$ (формула разности квадратов).

Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(y^2 + y - 6) - (y^2 - 2y + 1) + (25 - y^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + y - 6 - y^2 + 2y - 1 + 25 - y^2 = (y^2 - y^2 - y^2) + (y + 2y) + (-6 - 1 + 25) = -y^2 + 3y + 18$.

Ответ: $-y^2 + 3y + 18$