Номер 6, страница 3 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 6, страница 3.

Условие.

6. Разложите на множители:

1) $x^2 - 4$;

2) $25 - 9a^2$;

3) $36m^2 - 100n^2$;

4) $0,04p^2 - 1,69q^2$;

5) $x^2y^2 - \frac{4}{9}$;

6) $a^4 - b^6$;

7) $0,01c^2 - d^8$;

8) $-1 + a^4b^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для разложения на множители данных выражений используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1)

Представим выражение $x^2 - 4$ в виде разности квадратов. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

Следовательно, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = 2$, получаем:

$x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)$

2)

Представим выражение $25 - 9a^2$ в виде разности квадратов. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $9a^2 = (3a)^2$.

Следовательно, $25 - 9a^2 = 5^2 - (3a)^2$.

Применяя формулу, где $a = 5$ и $b = 3a$, получаем:

$5^2 - (3a)^2 = (5 - 3a)(5 + 3a)$.

Ответ: $(5 - 3a)(5 + 3a)$

3)

В выражении $36m^2 - 100n^2$ сначала вынесем за скобки общий множитель. Наибольший общий делитель для 36 и 100 равен 4.

$36m^2 - 100n^2 = 4(9m^2 - 25n^2)$.

Теперь разложим на множители выражение в скобках, которое является разностью квадратов: $9m^2 = (3m)^2$ и $25n^2 = (5n)^2$.

$9m^2 - 25n^2 = (3m)^2 - (5n)^2 = (3m - 5n)(3m + 5n)$.

Окончательный результат:

$4(3m - 5n)(3m + 5n)$.

Ответ: $4(3m - 5n)(3m + 5n)$

4)

Представим выражение $0,04p^2 - 1,69q^2$ в виде разности квадратов. Мы знаем, что $0,04 = (0,2)^2$ и $1,69 = (1,3)^2$.

Следовательно, $0,04p^2 = (0,2p)^2$ и $1,69q^2 = (1,3q)^2$.

Выражение принимает вид $(0,2p)^2 - (1,3q)^2$.

Применяя формулу, где $a = 0,2p$ и $b = 1,3q$, получаем:

$(0,2p - 1,3q)(0,2p + 1,3q)$.

Ответ: $(0,2p - 1,3q)(0,2p + 1,3q)$

5)

Представим выражение $x^2y^2 - \frac{4}{9}$ в виде разности квадратов. Мы знаем, что $x^2y^2 = (xy)^2$ и $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.

Следовательно, $x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy)^2 - (\frac{2}{3})^2$.

Применяя формулу, где $a = xy$ и $b = \frac{2}{3}$, получаем:

$(xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})$.

Ответ: $(xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})$

6)

Представим выражение $a^4 - b^6$ в виде разности квадратов. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$a^4 = (a^2)^2$ и $b^6 = (b^3)^2$.

Выражение принимает вид $(a^2)^2 - (b^3)^2$.

Применяя формулу, где $a \rightarrow a^2$ и $b \rightarrow b^3$, получаем:

$(a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$.

Ответ: $(a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$

7)

Представим выражение $0,01c^2 - d^8$ в виде разности квадратов.

$0,01c^2 = (0,1c)^2$ и $d^8 = (d^4)^2$.

Выражение принимает вид $(0,1c)^2 - (d^4)^2$.

Применяя формулу, где $a = 0,1c$ и $b = d^4$, получаем:

$(0,1c - d^4)(0,1c + d^4)$.

Ответ: $(0,1c - d^4)(0,1c + d^4)$

8)

Перепишем выражение $-1 + a^4b^8$ в более удобном виде: $a^4b^8 - 1$.

Это разность квадратов, так как $a^4b^8 = (a^2b^4)^2$ и $1 = 1^2$.

$a^4b^8 - 1 = (a^2b^4)^2 - 1^2 = (a^2b^4 - 1)(a^2b^4 + 1)$.

Заметим, что первый множитель $(a^2b^4 - 1)$ также является разностью квадратов, поскольку $a^2b^4 = (ab^2)^2$.

$a^2b^4 - 1 = (ab^2)^2 - 1^2 = (ab^2 - 1)(ab^2 + 1)$.

Второй множитель $(a^2b^4 + 1)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все вместе:

$(ab^2 - 1)(ab^2 + 1)(a^2b^4 + 1)$.

Ответ: $(ab^2 - 1)(ab^2 + 1)(a^2b^4 + 1)$