Номер 11, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 11, страница 4.

Условие.

11. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $x$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 6;

2) все числа, кроме -4 и 0;

3) все числа, кроме -10, -8 и 1;

4) все числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) все числа, кроме 6;

Областью допустимых значений (ОДЗ) рациональной дроби являются все значения переменной, при которых её знаменатель не равен нулю. Чтобы из ОДЗ было исключено только число 6, необходимо, чтобы знаменатель дроби обращался в ноль только при $x = 6$. Простейшим многочленом, который имеет единственный корень $x = 6$, является выражение $x - 6$. В качестве числителя можно взять любое выражение, которое не обращается в ноль при $x=6$, например, константу 1. Таким образом, мы получаем дробь, у которой знаменатель $x-6$ равен нулю только при $x=6$.

Ответ: $\frac{1}{x-6}$

2) все числа, кроме -4 и 0;

В этом случае знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x = -4$ и при $x = 0$. Это означает, что многочлен в знаменателе должен иметь корни -4 и 0. Следовательно, он должен содержать множители $(x - (-4))$, то есть $(x+4)$, и $(x - 0)$, то есть $x$. Произведение этих множителей, $x(x+4)$, является простейшим многочленом, удовлетворяющим данному условию, так как он равен нулю только при $x=0$ или $x=-4$. В качестве числителя снова можем взять 1.

Ответ: $\frac{1}{x(x+4)}$

3) все числа, кроме -10, -8 и 1;

Аналогично предыдущим пунктам, знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -10$, $x = -8$ и $x = 1$. Для этого он должен содержать множители, соответствующие каждому корню: $(x - (-10))$, то есть $(x+10)$; $(x - (-8))$, то есть $(x+8)$; и $(x - 1)$. Знаменатель будет произведением этих множителей: $(x+10)(x+8)(x-1)$. Он обращается в ноль только при $x=-10$, $x=-8$ и $x=1$. Числитель можно взять равным 1.

Ответ: $\frac{1}{(x+10)(x+8)(x-1)}$

4) все числа.

Если допустимыми значениями являются все числа, это означает, что знаменатель рациональной дроби никогда не должен обращаться в ноль ни при каком значении $x$. Этого можно достичь, если знаменатель является любой ненулевой константой (например, 1). В этом случае рациональная дробь является многочленом, который определён для всех $x$. Другой вариант — использовать в знаменателе выражение, которое никогда не равно нулю. Например, $x^2+1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$, и знаменатель никогда не будет равен нулю.

Ответ: $\frac{1}{x^2+1}$