Номер 7, страница 3 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 7, страница 3.

Условие.

7. Разложите на множители:

1) $c^3 + 8;$

2) $27a^3 - b^3;$

3) $125 + a^3b^3;$

4) $x^6 - y^9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для разложения на множители выражения $c^3 + 8$ используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном выражении $c^3$ является кубом переменной $c$, а число 8 является кубом числа 2 ($2^3 = 8$).
Таким образом, мы можем принять $a = c$ и $b = 2$.
Применяя формулу, получаем:
$c^3 + 8 = c^3 + 2^3 = (c + 2)(c^2 - c \cdot 2 + 2^2) = (c + 2)(c^2 - 2c + 4)$.
Ответ: $(c + 2)(c^2 - 2c + 4)$.

2) Для разложения выражения $27a^3 - b^3$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Первый член $27a^3$ можно представить как куб выражения $3a$, так как $(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$. Второй член $b^3$ является кубом $b$.
Таким образом, мы можем принять $x = 3a$ и $y = b$.
Применяя формулу, получаем:
$27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a - b)((3a)^2 + (3a) \cdot b + b^2) = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$.
Ответ: $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$.

3) Для разложения выражения $125 + a^3b^3$ снова используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим каждое слагаемое в виде куба: $125 = 5^3$ и $a^3b^3 = (ab)^3$.
Таким образом, мы можем принять $x = 5$ и $y = ab$.
Применяя формулу, получаем:
$125 + a^3b^3 = 5^3 + (ab)^3 = (5 + ab)(5^2 - 5 \cdot ab + (ab)^2) = (5 + ab)(25 - 5ab + a^2b^2)$.
Ответ: $(5 + ab)(25 - 5ab + a^2b^2)$.

4) Для разложения выражения $x^6 - y^9$ используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Чтобы применить эту формулу, необходимо представить каждый член выражения в виде куба. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$x^6 = (x^2)^3$
$y^9 = (y^3)^3$
Таким образом, мы можем принять $a = x^2$ и $b = y^3$.
Применяя формулу, получаем:
$x^6 - y^9 = (x^2)^3 - (y^3)^3 = (x^2 - y^3)((x^2)^2 + (x^2)(y^3) + (y^3)^2) = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)$.
Ответ: $(x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)$.