Номер 12, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 12, страница 4.

Условие.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной a значение дроби:

1) $\frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25}$ положительное;

2) $\frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1}$ неположительное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25}$.
Сначала определим допустимые значения переменной $a$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Знаменатель $a^2 - 10a + 25$ можно представить в виде полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a - 5)^2$.
Знаменатель обращается в ноль, если $(a - 5)^2 = 0$, то есть при $a = 5$. Следовательно, допустимыми значениями переменной $a$ являются все действительные числа, кроме $a=5$.
Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя при всех допустимых значениях $a$.
Числитель: $a^2 + 6a + 10$. Выделим в нем полный квадрат: $a^2 + 6a + 10 = (a^2 + 6a + 9) + 1 = (a + 3)^2 + 1$.
Выражение $(a + 3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a + 3)^2 \ge 0$ для любого $a$. Тогда $(a + 3)^2 + 1 \ge 1$, что означает, что числитель всегда является строго положительным числом.
Знаменатель: $(a - 5)^2$. При всех допустимых значениях $a \neq 5$, выражение $(a - 5)$ не равно нулю, следовательно, его квадрат $(a - 5)^2$ всегда является строго положительным числом.
Таким образом, данная дробь представляет собой отношение строго положительного числителя к строго положительному знаменателю. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, значение дроби $\frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25}$ положительное при всех допустимых значениях $a$.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим дробь $\frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1}$.
Сначала определим допустимые значения переменной $a$. Знаменатель дроби $a^4 + 1$ не должен равняться нулю. Поскольку $a^4 = (a^2)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, то $a^4 + 1 \ge 1$. Значит, знаменатель всегда строго положителен и никогда не обращается в ноль. Следовательно, допустимыми являются все действительные значения $a$.
Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя.
Преобразуем числитель: $4a - 4 - a^2$. Вынесем минус за скобки: $-( -4a + 4 + a^2 ) = -(a^2 - 4a + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$.
Таким образом, числитель равен $-(a - 2)^2$.
Выражение $(a - 2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$. Следовательно, числитель $-(a - 2)^2$ всегда неположителен, то есть $-(a - 2)^2 \le 0$ для любого $a$.
Знаменатель, как мы установили ранее, всегда строго положителен: $a^4 + 1 > 0$.
Таким образом, дробь представляет собой отношение неположительного числа (числитель) к строго положительному числу (знаменатель). Такое частное всегда будет неположительным (меньше или равно нулю).
Следовательно, значение дроби $\frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1}$ неположительное при всех допустимых значениях $a$.
Ответ: что и требовалось доказать.