Номер 19, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 19, страница 6.

Условие.

19. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a - 5)x = 1$;

2) $(a + 4)x = a + 4$;

3) $(a - 7)x = a^2 - 14a + 49$;

4) $(a^2 - 1)x = a + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Данное уравнение $(a - 5)x = 1$ является линейным относительно переменной $x$ с коэффициентом $(a - 5)$. Решение уравнения зависит от значения этого коэффициента.
Рассмотрим два случая:
1. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a - 5 = 0$, что означает $a = 5$.
Подставив $a=5$ в уравнение, получаем: $(5-5)x = 1$, или $0 \cdot x = 1$.
Это равенство неверно ни при каком значении $x$, следовательно, при $a=5$ уравнение не имеет решений.
2. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a - 5 \neq 0$, что означает $a \neq 5$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 5)$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{1}{a-5}$
При каждом значении $a$, не равном 5, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: если $a=5$, то корней нет; если $a \neq 5$, то $x = \frac{1}{a-5}$.

2) Уравнение $(a + 4)x = a + 4$. Коэффициент при $x$ равен $(a + 4)$.
Рассмотрим два случая:
1. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a + 4 = 0$, что означает $a = -4$.
Подставив $a=-4$ в уравнение, получаем: $(-4+4)x = -4+4$, или $0 \cdot x = 0$.
Это равенство верно для любого действительного числа $x$.
2. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a + 4 \neq 0$, что означает $a \neq -4$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a + 4)$:
$x = \frac{a+4}{a+4}$
$x = 1$
При каждом значении $a$, не равном -4, уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: если $a=-4$, то $x$ – любое число; если $a \neq -4$, то $x=1$.

3) Уравнение $(a - 7)x = a^2 - 14a + 49$.
Заметим, что правая часть уравнения является полным квадратом: $a^2 - 14a + 49 = (a-7)^2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(a-7)x = (a-7)^2$.
Коэффициент при $x$ равен $(a-7)$.
Рассмотрим два случая:
1. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a - 7 = 0$, что означает $a = 7$.
Подставив $a=7$ в уравнение, получаем: $(7-7)x = (7-7)^2$, или $0 \cdot x = 0$.
Это равенство верно для любого действительного числа $x$.
2. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a - 7 \neq 0$, что означает $a \neq 7$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a-7)$:
$x = \frac{(a-7)^2}{a-7}$
$x = a-7$
При каждом значении $a$, не равном 7, уравнение имеет единственный корень $x=a-7$.

Ответ: если $a=7$, то $x$ – любое число; если $a \neq 7$, то $x=a-7$.

4) Уравнение $(a^2 - 1)x = a + 1$.
Коэффициент при $x$ равен $a^2-1$. Разложим его на множители: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.
Уравнение принимает вид: $(a-1)(a+1)x = a+1$.
Рассмотрим случаи, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $a^2-1 = 0$. Это происходит при $a=1$ и $a=-1$.
1. Если $a = 1$:
Подставляем в исходное уравнение: $(1^2-1)x = 1+1$, или $0 \cdot x = 2$.
Это равенство неверно, следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет решений.
2. Если $a = -1$:
Подставляем в исходное уравнение: $((-1)^2-1)x = -1+1$, или $0 \cdot x = 0$.
Это равенство верно для любого действительного числа $x$.
3. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $a^2 - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a^2 - 1)$:
$x = \frac{a+1}{a^2-1} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}$
Поскольку $a \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(a+1)$:
$x = \frac{1}{a-1}$
При каждом значении $a$, не равном 1 и -1, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a=-1$, то $x$ – любое число; если $a \neq 1$ и $a \neq -1$, то $x = \frac{1}{a-1}$.