Номер 25, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 25, страница 7.

Условие.

25. Выполните действия:

1) $\frac{x - 3}{3x + 6} - \frac{x - 6}{x + 2}$;

2) $\frac{m + 4}{5m - 10} + \frac{3 - m}{4m - 8}$;

3) $\frac{y + 6}{y - 6} - \frac{y + 2}{y + 6}$;

4) $\frac{3x}{4x - 4} + \frac{5x}{7 - 7x}$;

5) $\frac{2b}{2b + c} - \frac{4b^2}{4b^2 + 4bc + c^2}$;

6) $\frac{2}{a^2 - 9} - \frac{1}{a^2 + 3a}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \frac{x-3}{3x+6} - \frac{x-6}{x+2} $
Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ 3x+6 = 3(x+2) $.
Знаменатель второй дроби $ x+2 $ уже представлен в виде простого множителя.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $ 3(x+2) $.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:
$ \frac{x-3}{3(x+2)} - \frac{3(x-6)}{3(x+2)} $
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{(x-3) - 3(x-6)}{3(x+2)} = \frac{x - 3 - 3x + 18}{3(x+2)} $
Упростим выражение в числителе:
$ x - 3x - 3 + 18 = -2x + 15 $
Запишем итоговый результат:
$ \frac{15-2x}{3(x+2)} $

Ответ: $ \frac{15-2x}{3(x+2)} $.

2) $ \frac{m+4}{5m-10} + \frac{3-m}{4m-8} $
Разложим знаменатели на множители, чтобы найти НОЗ.
$ 5m-10 = 5(m-2) $
$ 4m-8 = 4(m-2) $
НОЗ равен $ 5 \cdot 4 \cdot (m-2) = 20(m-2) $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 5.
$ \frac{4(m+4)}{20(m-2)} + \frac{5(3-m)}{20(m-2)} = \frac{4(m+4) + 5(3-m)}{20(m-2)} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ 4m + 16 + 15 - 5m = -m + 31 $
Итоговое выражение:
$ \frac{31-m}{20(m-2)} $

Ответ: $ \frac{31-m}{20(m-2)} $.

3) $ \frac{y+6}{y-6} - \frac{y+2}{y+6} $
Знаменатели $ y-6 $ и $ y+6 $ являются простыми множителями. НОЗ равен их произведению: $ (y-6)(y+6) = y^2 - 36 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(y+6)(y+6)}{(y-6)(y+6)} - \frac{(y+2)(y-6)}{(y-6)(y+6)} = \frac{(y+6)^2 - (y+2)(y-6)}{y^2-36} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов:
$ (y+6)^2 = y^2 + 12y + 36 $
$ (y+2)(y-6) = y^2 - 6y + 2y - 12 = y^2 - 4y - 12 $
Подставим в числитель и упростим:
$ (y^2 + 12y + 36) - (y^2 - 4y - 12) = y^2 + 12y + 36 - y^2 + 4y + 12 = 16y + 48 $
Итоговая дробь:
$ \frac{16y+48}{y^2-36} $
Можно вынести общий множитель в числителе: $ \frac{16(y+3)}{y^2-36} $.

Ответ: $ \frac{16y+48}{y^2-36} $.

4) $ \frac{3x}{4x-4} + \frac{5x}{7-7x} $
Разложим знаменатели на множители:
$ 4x-4 = 4(x-1) $
$ 7-7x = 7(1-x) = -7(x-1) $
Перепишем выражение, вынеся минус из знаменателя второй дроби:
$ \frac{3x}{4(x-1)} - \frac{5x}{7(x-1)} $
НОЗ равен $ 4 \cdot 7 \cdot (x-1) = 28(x-1) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{7 \cdot 3x}{28(x-1)} - \frac{4 \cdot 5x}{28(x-1)} = \frac{21x - 20x}{28(x-1)} $
Упростим числитель:
$ 21x - 20x = x $
Получаем результат:
$ \frac{x}{28(x-1)} $

Ответ: $ \frac{x}{28(x-1)} $.

5) $ \frac{2b}{2b+c} - \frac{4b^2}{4b^2+4bc+c^2} $
Разложим второй знаменатель на множители. Это формула квадрата суммы:
$ 4b^2+4bc+c^2 = (2b)^2 + 2(2b)c + c^2 = (2b+c)^2 $
Выражение принимает вид:
$ \frac{2b}{2b+c} - \frac{4b^2}{(2b+c)^2} $
НОЗ равен $ (2b+c)^2 $. Домножим первую дробь на $ (2b+c) $:
$ \frac{2b(2b+c)}{(2b+c)^2} - \frac{4b^2}{(2b+c)^2} = \frac{2b(2b+c) - 4b^2}{(2b+c)^2} $
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$ 4b^2 + 2bc - 4b^2 = 2bc $
Итоговый результат:
$ \frac{2bc}{(2b+c)^2} $

Ответ: $ \frac{2bc}{(2b+c)^2} $.

6) $ \frac{2}{a^2-9} - \frac{1}{a^2+3a} $
Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя:
$ a^2-9 = (a-3)(a+3) $
$ a^2+3a = a(a+3) $
НОЗ равен $ a(a-3)(a+3) $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $ (a-3) $.
$ \frac{2a}{a(a-3)(a+3)} - \frac{1(a-3)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{2a - (a-3)}{a(a-3)(a+3)} $
Упростим числитель:
$ 2a - a + 3 = a+3 $
Получаем дробь:
$ \frac{a+3}{a(a-3)(a+3)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (a+3) $, при условии, что $ a+3 \neq 0 $:
$ \frac{1}{a(a-3)} $

Ответ: $ \frac{1}{a(a-3)} $.