Номер 29, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 29, страница 8.

Условие.

29. Упростите выражение:

1) $\frac{ab - b^2}{8} \cdot \frac{32a}{b^3}$;

2) $\frac{m^2 - mn}{m^2 + mn} \cdot \frac{m^2n + mn^2}{m^3 - m^2n}$;

3) $\frac{x^2 - 16}{x^3 - 3x^2} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^2 + 4x}$;

4) $\frac{5y^2 - 20y + 20}{y^3 - 1} \cdot \frac{3y^2 + 3y + 3}{10y - 20}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $ \frac{ab - b^2}{8} \cdot \frac{32a}{b^3} $ выполним следующие шаги:
1. Разложим на множители числитель первой дроби: $ ab - b^2 = b(a - b) $.
2. Подставим разложенное выражение обратно в произведение: $ \frac{b(a - b)}{8} \cdot \frac{32a}{b^3} $.
3. Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{b(a - b) \cdot 32a}{8 \cdot b^3} $.
4. Сократим общие множители. Сокращаем числовые коэффициенты: $ \frac{32}{8} = 4 $. Сокращаем переменные: $ \frac{b}{b^3} = \frac{1}{b^2} $.
5. В результате получаем: $ \frac{4a(a - b)}{b^2} $.
Ответ: $ \frac{4a(a - b)}{b^2} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{m^2 - mn}{m^2 + mn} \cdot \frac{m^2n + mn^2}{m^3 - m^2n} $ разложим на множители числители и знаменатели всех дробей:
• $ m^2 - mn = m(m - n) $
• $ m^2 + mn = m(m + n) $
• $ m^2n + mn^2 = mn(m + n) $
• $ m^3 - m^2n = m^2(m - n) $
Теперь подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$ \frac{m(m - n)}{m(m + n)} \cdot \frac{mn(m + n)}{m^2(m - n)} $
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (m-n) $, $ (m+n) $ и $ m $.
$ \frac{\cancel{m}\cancel{(m - n)}}{\cancel{m}\cancel{(m + n)}} \cdot \frac{mn\cancel{(m + n)}}{m^2\cancel{(m - n)}} = \frac{mn}{m^2} $
Упростим полученную дробь: $ \frac{n}{m} $.
Ответ: $ \frac{n}{m} $

3) Для упрощения выражения $ \frac{x^2 - 16}{x^3 - 3x^2} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^2 + 4x} $ разложим на множители числители и знаменатели, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя:
• $ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $
• $ x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) $
• $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $
• $ x^2 + 4x = x(x + 4) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(x - 4)(x + 4)}{x^2(x - 3)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 4)} $
Перемножим дроби и запишем под общей чертой:
$ \frac{(x - 4)(x + 4)(x - 3)(x + 3)}{x^2(x - 3)x(x + 4)} $
Сократим общие множители $ (x + 4) $ и $ (x - 3) $:
$ \frac{(x - 4)(x + 3)}{x^2 \cdot x} = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x^3} $
Ответ: $ \frac{(x - 4)(x + 3)}{x^3} $

4) Для упрощения выражения $ \frac{5y^2 - 20y + 20}{y^3 - 1} \cdot \frac{3y^2 + 3y + 3}{10y - 20} $ разложим на множители числители и знаменатели:
• $ 5y^2 - 20y + 20 = 5(y^2 - 4y + 4) = 5(y-2)^2 $ (используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $).
• $ y^3 - 1 = (y-1)(y^2 + y + 1) $ (используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $).
• $ 3y^2 + 3y + 3 = 3(y^2 + y + 1) $ (вынесение общего множителя).
• $ 10y - 20 = 10(y - 2) $ (вынесение общего множителя).
Подставим разложенные выражения в произведение:
$ \frac{5(y-2)^2}{(y-1)(y^2+y+1)} \cdot \frac{3(y^2+y+1)}{10(y-2)} $
Сократим общие множители $ (y^2+y+1) $ и $ (y-2) $. Также сократим числовые коэффициенты $ \frac{5 \cdot 3}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $.
$ \frac{\cancel{5}(y-2)^{\cancel{2}} \cdot 3\cancel{(y^2+y+1)}}{(y-1)\cancel{(y^2+y+1)} \cdot \cancel{10}_2\cancel{(y-2)}} = \frac{3(y-2)}{2(y-1)} $
Ответ: $ \frac{3(y-2)}{2(y-1)} $