Номер 35, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 35, страница 9.

Условие.

35. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a - 2}{a + 2} - \frac{a + 2}{a - 2}\right) : \frac{12a^2}{4 - a^2};$

2) $\left(\frac{8x}{x - 2} + 2x\right) : \frac{4x + 8}{7x - 14};$

3) $\frac{5a}{a + 3} + \frac{a - 6}{3a + 9} \cdot \frac{135}{6a - a^2};$

4) $\left(\frac{3m}{m + 5} - \frac{8m}{m^2 + 10m + 25}\right) : \left(\frac{3m + 7}{m^2 - 25} + \frac{5m - 25}{m + 5}\right);$

5) $\left(\frac{y^2}{x^3 - xy^2} + \frac{1}{x + y}\right) : \left(\frac{x - y}{x^2 + xy} - \frac{x}{xy + y^2}\right);$

6) $\left(\frac{a}{a - 4} - \frac{a}{a + 4} - \frac{a^2 + 16}{16 - a^2}\right) : \frac{4a + a^2}{(4 - a)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{a-2}{a+2}$ и $\frac{a+2}{a-2}$ это $(a+2)(a-2) = a^2-4$.
$\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2} = \frac{(a-2)(a-2) - (a+2)(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a^2-4a+4) - (a^2+4a+4)}{a^2-4} = \frac{a^2-4a+4 - a^2-4a-4}{a^2-4} = \frac{-8a}{a^2-4}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Также учтем, что $4-a^2 = -(a^2-4)$.
$\left(\frac{-8a}{a^2-4}\right) : \frac{12a^2}{4-a^2} = \frac{-8a}{a^2-4} \cdot \frac{4-a^2}{12a^2} = \frac{-8a}{a^2-4} \cdot \frac{-(a^2-4)}{12a^2}$.
Сократим общие множители $(a^2-4)$ и $4a$:
$\frac{8a}{12a^2} = \frac{2}{3a}$.
Ответ: $\frac{2}{3a}$.

2) Выполним сложение в скобках, представив $2x$ в виде дроби со знаменателем $x-2$.
$\frac{8x}{x-2} + 2x = \frac{8x}{x-2} + \frac{2x(x-2)}{x-2} = \frac{8x + 2x^2 - 4x}{x-2} = \frac{2x^2+4x}{x-2} = \frac{2x(x+2)}{x-2}$.
Теперь выполним деление. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби: $\frac{4x+8}{7x-14} = \frac{4(x+2)}{7(x-2)}$.
$\frac{2x(x+2)}{x-2} : \frac{4(x+2)}{7(x-2)} = \frac{2x(x+2)}{x-2} \cdot \frac{7(x-2)}{4(x+2)}$.
Сократим общие множители $(x+2)$ и $(x-2)$:
$\frac{2x \cdot 7}{4} = \frac{14x}{4} = \frac{7x}{2}$.
Ответ: $\frac{7x}{2}$.

3) Сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители: $3a+9 = 3(a+3)$ и $6a-a^2 = a(6-a)$.
$\frac{a-6}{3a+9} \cdot \frac{135}{6a-a^2} = \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)}$.
Так как $a-6 = -(6-a)$, мы можем сократить $(6-a)$:
$\frac{-(6-a)}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)} = \frac{-1 \cdot 135}{3a(a+3)} = \frac{-135}{3a(a+3)} = \frac{-45}{a(a+3)}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{5a}{a+3} + \frac{-45}{a(a+3)} = \frac{5a^2 - 45}{a(a+3)}$.
Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2-9=(a-3)(a+3)$.
$\frac{5(a^2-9)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)}$.
Сократим общий множитель $(a+3)$:
$\frac{5(a-3)}{a}$.
Ответ: $\frac{5(a-3)}{a}$.

4) Выполним действия по порядку. Сначала вычитание в скобках. Заметим, что $m^2+10m+25 = (m+5)^2$.
$\frac{3m}{m+5} - \frac{8m}{(m+5)^2} = \frac{3m(m+5)}{(m+5)^2} - \frac{8m}{(m+5)^2} = \frac{3m^2+15m-8m}{(m+5)^2} = \frac{3m^2+7m}{(m+5)^2} = \frac{m(3m+7)}{(m+5)^2}$.
Далее деление. Разложим $m^2-25 = (m-5)(m+5)$.
$\frac{m(3m+7)}{(m+5)^2} : \frac{3m+7}{m^2-25} = \frac{m(3m+7)}{(m+5)^2} \cdot \frac{(m-5)(m+5)}{3m+7}$.
Сократим общие множители $(3m+7)$ и $(m+5)$:
$\frac{m(m-5)}{m+5} = \frac{m^2-5m}{m+5}$.
И, наконец, сложение. Знаменатели уже одинаковые.
$\frac{m^2-5m}{m+5} + \frac{5m-25}{m+5} = \frac{m^2-5m+5m-25}{m+5} = \frac{m^2-25}{m+5}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим:
$\frac{(m-5)(m+5)}{m+5} = m-5$.
Ответ: $m-5$.

5) Упростим выражение в первых скобках. Разложим $x^3-xy^2 = x(x^2-y^2) = x(x-y)(x+y)$.
$\frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} + \frac{1}{x+y} = \frac{y^2 + x(x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{y^2+x^2-xy}{x(x-y)(x+y)}$.
Упростим выражение во вторых скобках. Разложим знаменатели $x^2+xy = x(x+y)$ и $xy+y^2=y(x+y)$.
$\frac{x-y}{x(x+y)} - \frac{x}{y(x+y)} = \frac{y(x-y)-x \cdot x}{xy(x+y)} = \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)} = \frac{-(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)} : \frac{-(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)} \cdot \frac{xy(x+y)}{-(x^2-xy+y^2)}$.
Сократим общие множители $(x^2-xy+y^2)$, $(x+y)$ и $x$:
$\frac{1}{x-y} \cdot \frac{y}{-1} = \frac{-y}{x-y} = \frac{y}{y-x}$.
Ответ: $\frac{y}{y-x}$.

6) Упростим выражение в скобках. Учтем, что $16-a^2=-(a^2-16)=-(a-4)(a+4)$.
$\frac{a}{a-4} - \frac{a}{a+4} - \frac{a^2+16}{16-a^2} = \frac{a}{a-4} - \frac{a}{a+4} + \frac{a^2+16}{a^2-16} = \frac{a(a+4) - a(a-4) + (a^2+16)}{(a-4)(a+4)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a^2+4a - (a^2-4a) + a^2+16}{(a-4)(a+4)} = \frac{a^2+4a-a^2+4a+a^2+16}{(a-4)(a+4)} = \frac{a^2+8a+16}{(a-4)(a+4)}$.
Числитель является полным квадратом $(a+4)^2$.
$\frac{(a+4)^2}{(a-4)(a+4)} = \frac{a+4}{a-4}$.
Теперь выполним деление. Заметим, что $(4-a)^2 = (a-4)^2$ и $4a+a^2=a(4+a)$.
$\frac{a+4}{a-4} : \frac{4a+a^2}{(4-a)^2} = \frac{a+4}{a-4} \cdot \frac{(a-4)^2}{a(a+4)}$.
Сократим общие множители $(a+4)$ и $(a-4)$:
$\frac{a-4}{a}$.
Ответ: $\frac{a-4}{a}$.