Номер 34, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 34, страница 9.

Условие.

34. Известно, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$. Найдите значение выражения $x + \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нам дано уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$. Наша цель — найти значение выражения $x + \frac{1}{x}$.

Для этого рассмотрим квадрат искомого выражения. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Упростим полученное выражение. Произведение $x \cdot \frac{1}{x}$ равно 1 (поскольку $x \neq 0$), поэтому средний член равен $2 \cdot 1 = 2$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые, чтобы использовать данное в условии значение:

$(x + \frac{1}{x})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2$

Подставим известное значение $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$ в это равенство:

$(x + \frac{1}{x})^2 = 14 + 2$

$(x + \frac{1}{x})^2 = 16$

Теперь, чтобы найти значение $x + \frac{1}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что уравнение вида $y^2 = 16$ имеет два решения: $y = \sqrt{16}$ и $y = -\sqrt{16}$.

Следовательно, выражение $x + \frac{1}{x}$ может принимать два возможных значения:

$x + \frac{1}{x} = 4$ или $x + \frac{1}{x} = -4$.

Ответ: $4$ или $-4$.