Номер 39, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 39, страница 10.

Условие.

39. Равносильны ли уравнения:

1) $x - 3 = 5$ и $7x = 56$;

2) $x + 2 = 0$ и $x(x + 2) = 0$;

3) $x^2 = -1$ и $|x| = -2$;

4) $x + 3 = 3 + x$ и $\frac{x + 3}{x + 3} = 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $x - 3 = 5$ и $7x = 56$

Решим первое уравнение:
$x - 3 = 5$
$x = 5 + 3$
$x = 8$
Корень первого уравнения: $x=8$.

Решим второе уравнение:
$7x = 56$
$x = \frac{56}{7}$
$x = 8$
Корень второго уравнения: $x=8$.

Множества корней обоих уравнений совпадают, так как каждое состоит из единственного числа 8.
Ответ: уравнения равносильны.

2) $x + 2 = 0$ и $x(x + 2) = 0$

Решим первое уравнение:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Множество корней первого уравнения: $\{-2\}$.

Решим второе уравнение:
$x(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x + 2 = 0$, откуда $x_2 = -2$.
Множество корней второго уравнения: $\{0, -2\}$.

Множества корней не совпадают, так как второе уравнение имеет дополнительный корень $x=0$, которого нет у первого.
Ответ: уравнения не равносильны.

3) $x^2 = -1$ и $|x| = -2$

Рассмотрим первое уравнение $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел квадрат числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение $|x| = -2$. Модуль (абсолютная величина) действительного числа по определению неотрицателен ($|x| \ge 0$). Следовательно, это уравнение также не имеет действительных корней. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества решений совпадают (оба являются пустыми).
Ответ: уравнения равносильны.

4) $x + 3 = 3 + x$ и $\frac{x+3}{x+3} = 1$

Первое уравнение $x + 3 = 3 + x$ является тождеством, так как оно верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Второе уравнение $\frac{x+3}{x+3} = 1$ определено только при условии, что знаменатель не равен нулю. Это условие называется областью допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
При всех допустимых значениях $x$ (то есть при $x \neq -3$) уравнение является верным тождеством $1=1$. Таким образом, множество его решений — все действительные числа, кроме $-3$, то есть $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Множества решений уравнений не совпадают. Число $x=-3$ является решением первого уравнения, но для второго уравнения это значение является недопустимым.
Ответ: уравнения не равносильны.