Номер 42, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 42, страница 10.

Условие.

42. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x-3}{x-a} = 0;$

2) $\frac{x-a}{x-2} = 0;$

3) $\frac{a(x-a)}{x-2} = 0;$

4) $\frac{(x-5)(x+6)}{x-a} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассматриваем уравнение $\frac{x-3}{x-a} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} x - 3 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим, что $x=3$.

Подставим это значение во второе условие, чтобы определить, при каких значениях параметра a это решение существует:

$3 - a \neq 0$, что эквивалентно $a \neq 3$.

Таким образом, мы должны рассмотреть два случая:

1. Если $a \neq 3$, то условие $x - a \neq 0$ при $x=3$ выполняется. Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=3$.

2. Если $a = 3$, то уравнение принимает вид $\frac{x-3}{x-3} = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Однако, для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, то есть $x - 3 = 0$, откуда $x=3$. Так как значение $x=3$ не входит в ОДЗ, то при $a=3$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a \neq 3$, то $x=3$; если $a=3$, то корней нет.

2) Рассматриваем уравнение $\frac{x-a}{x-2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$.

Из второго условия получаем $x \neq 2$.

Для того чтобы корень $x=a$ был решением исходного уравнения, он должен удовлетворять условию $x \neq 2$. То есть, должно выполняться условие $a \neq 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a \neq 2$, то корень $x=a$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$). Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=a$.

2. Если $a = 2$, то уравнение принимает вид $\frac{x-2}{x-2} = 0$. Числитель обращается в ноль при $x=2$, но это значение не входит в ОДЗ, так как знаменатель тоже обращается в ноль. Следовательно, при $a=2$ уравнение корней не имеет.

Ответ: если $a \neq 2$, то $x=a$; если $a=2$, то корней нет.

3) Рассматриваем уравнение $\frac{a(x-a)}{x-2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a(x-a) = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим два основных случая для параметра a.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $\frac{0 \cdot (x-0)}{x-2} = 0$, или $\frac{0}{x-2} = 0$.

Это равенство верно для любого значения x, при котором знаменатель не равен нулю.

Условие $x - 2 \neq 0$ дает $x \neq 2$.

Таким образом, при $a=0$ решением уравнения является любое действительное число, кроме 2.

Случай 2: $a \neq 0$.

В этом случае, чтобы произведение $a(x-a)$ было равно нулю, необходимо, чтобы $x-a=0$. Отсюда получаем $x=a$.

Этот корень существует, только если он удовлетворяет условию $x - 2 \neq 0$. Подставив $x=a$, получаем $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Таким образом, в рамках случая $a \neq 0$ мы имеем два подслучая:

а) Если $a \neq 0$ и $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x=a$.

б) Если $a = 2$ (что удовлетворяет условию $a \neq 0$), то потенциальный корень $x=a=2$ не входит в ОДЗ ($x \neq 2$). Следовательно, при $a=2$ уравнение корней не имеет.

Объединим все результаты.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое число, кроме $2$; если $a=2$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 2$, то $x=a$.

4) Рассматриваем уравнение $\frac{(x-5)(x+6)}{x-a} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x-5)(x+6) = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует, что либо $x-5=0$, либо $x+6=0$.

Таким образом, у нас есть два потенциальных корня: $x_1=5$ и $x_2=-6$.

Эти корни будут решениями исходного уравнения, если они удовлетворяют условию $x - a \neq 0$, то есть $x \neq a$.

Проанализируем различные значения параметра a.

Случай 1: $a=5$.

В этом случае условие ОДЗ принимает вид $x \neq 5$.

Корень $x_1=5$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он не является решением.

Корень $x_2=-6$ удовлетворяет ОДЗ (так как $-6 \neq 5$).

Следовательно, при $a=5$ уравнение имеет один корень: $x=-6$.

Случай 2: $a=-6$.

В этом случае условие ОДЗ принимает вид $x \neq -6$.

Корень $x_2=-6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он не является решением.

Корень $x_1=5$ удовлетворяет ОДЗ (так как $5 \neq -6$).

Следовательно, при $a=-6$ уравнение имеет один корень: $x=5$.

Случай 3: $a \neq 5$ и $a \neq -6$.

В этом случае условие ОДЗ $x \neq a$ не исключает ни один из потенциальных корней.

Оба корня, $x_1=5$ и $x_2=-6$, удовлетворяют ОДЗ.

Следовательно, при $a \neq 5$ и $a \neq -6$ уравнение имеет два корня: $x=5$ и $x=-6$.

Ответ: если $a=5$, то $x=-6$; если $a=-6$, то $x=5$; если $a \neq 5$ и $a \neq -6$, то $x_1=5, x_2=-6$.