Номер 38, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 38, страница 10.

Условие.

38. Упростите выражение:

1) $\frac{m - \frac{14m - 49}{m}}{\frac{7}{m} - 1}$;

2) $\frac{\frac{b}{b-1} - \frac{b+1}{b}}{\frac{b}{b+1} - \frac{b-1}{b}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\frac{m - \frac{14m - 49}{m}}{\frac{7}{m} - 1}$ выполним преобразования по частям.

Сначала упростим числитель. Приведем выражение $m - \frac{14m - 49}{m}$ к общему знаменателю $m$:
$m - \frac{14m - 49}{m} = \frac{m^2}{m} - \frac{14m - 49}{m} = \frac{m^2 - (14m - 49)}{m} = \frac{m^2 - 14m + 49}{m}$.
В числителе полученной дроби стоит полный квадрат разности: $m^2 - 14m + 49 = (m-7)^2$.
Значит, числитель исходного выражения равен $\frac{(m-7)^2}{m}$.

Теперь упростим знаменатель. Приведем выражение $\frac{7}{m} - 1$ к общему знаменателю $m$:
$\frac{7}{m} - 1 = \frac{7}{m} - \frac{m}{m} = \frac{7-m}{m}$.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь и выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{\frac{(m-7)^2}{m}}{\frac{7-m}{m}} = \frac{(m-7)^2}{m} \cdot \frac{m}{7-m}$.
Сократим на $m$ (при условии $m \neq 0$):
$\frac{(m-7)^2}{7-m}$.
Вынесем в знаменателе знак минус за скобки: $7-m = -(m-7)$.
$\frac{(m-7)^2}{-(m-7)} = -(m-7) = 7-m$ (при условии $m \neq 7$).

Ответ: $7-m$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\frac{b}{b-1} - \frac{b+1}{b}}{\frac{b}{b+1} - \frac{b-1}{b}}$ также выполним преобразования по частям.

Упростим числитель основной дроби, приведя разность к общему знаменателю $b(b-1)$:
$\frac{b}{b-1} - \frac{b+1}{b} = \frac{b \cdot b}{b(b-1)} - \frac{(b+1)(b-1)}{b(b-1)} = \frac{b^2 - (b^2 - 1)}{b(b-1)} = \frac{b^2 - b^2 + 1}{b(b-1)} = \frac{1}{b(b-1)}$.

Упростим знаменатель основной дроби, приведя разность к общему знаменателю $b(b+1)$:
$\frac{b}{b+1} - \frac{b-1}{b} = \frac{b \cdot b}{b(b+1)} - \frac{(b-1)(b+1)}{b(b+1)} = \frac{b^2 - (b^2 - 1)}{b(b+1)} = \frac{b^2 - b^2 + 1}{b(b+1)} = \frac{1}{b(b+1)}$.

Выполним деление полученных дробей:
$\frac{\frac{1}{b(b-1)}}{\frac{1}{b(b+1)}} = \frac{1}{b(b-1)} \cdot \frac{b(b+1)}{1} = \frac{b(b+1)}{b(b-1)}$.
Сократим на $b$ (при условии $b \neq 0, b \neq 1, b \neq -1$):
$\frac{b+1}{b-1}$.

Ответ: $\frac{b+1}{b-1}$.