Номер 31, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 31, страница 8.

Условие.

31. Выполните деление:

1) $ \frac{16x^3}{9y^4} : \frac{8x^8}{27y^6} $;

2) $ \frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} : \left(-\frac{4m^2n^9}{75p^5q^{12}}\right) $;

3) $ 28a^{18}b^{19} : \frac{14a^{20}b^{15}}{15c^4} $;

4) $ \frac{48x^4y^3}{49z^9} : (16x^7y^8) $;

5) $ \frac{11a^5b^{12}}{12cd^6} : \frac{55a^3b^2}{18c^7d^4} : \frac{21b^6d^2}{20a^7c^3} $;

6) $ \left(-\frac{2p^4q^2}{5m^8}\right)^3 : \left(-\frac{2p^5q^3}{5m^6}\right)^4 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{16x^3}{9y^4} \div \frac{8x^8}{27y^6}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{16x^3}{9y^4} \div \frac{8x^8}{27y^6} = \frac{16x^3}{9y^4} \cdot \frac{27y^6}{8x^8}$
Теперь перемножим числители и знаменатели, сгруппировав коэффициенты и переменные:
$\frac{16 \cdot 27}{9 \cdot 8} \cdot \frac{x^3 y^6}{y^4 x^8}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{16}{8}=2$ и $\frac{27}{9}=3$.
Сокращаем переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^3}{x^8} = x^{3-8} = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$
$\frac{y^6}{y^4} = y^{6-4} = y^2$
Собираем полученные части вместе:
$2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^5} \cdot y^2 = \frac{6y^2}{x^5}$
Ответ: $\frac{6y^2}{x^5}$

2) $\frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} \div \left(-\frac{4m^2n^9}{75p^5q^{12}}\right)$
При делении на отрицательную дробь, результат будет отрицательным. Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$-\left(\frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} \cdot \frac{75p^5q^{12}}{4m^2n^9}\right) = -\frac{18 \cdot 75 \cdot m^3n^4p^5q^{12}}{25 \cdot 4 \cdot p^6q^{10}m^2n^9}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ и $\frac{75}{25} = 3$. Их произведение: $\frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{27}{2}$.
Сокращаем переменные по свойству степеней:
$\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m$
$\frac{n^4}{n^9} = n^{4-9} = n^{-5} = \frac{1}{n^5}$
$\frac{p^5}{p^6} = p^{5-6} = p^{-1} = \frac{1}{p}$
$\frac{q^{12}}{q^{10}} = q^{12-10} = q^2$
Собираем все вместе, не забывая про знак "минус":
$-\frac{27}{2} \cdot m \cdot \frac{1}{n^5} \cdot \frac{1}{p} \cdot q^2 = -\frac{27mq^2}{2pn^5}$
Ответ: $-\frac{27mq^2}{2pn^5}$

3) $28a^{18}b^{19} \div \frac{14a^{20}b^{15}}{15c^4}$
Представим первое выражение в виде дроби $\frac{28a^{18}b^{19}}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{28a^{18}b^{19}}{1} \cdot \frac{15c^4}{14a^{20}b^{15}} = \frac{28 \cdot 15 \cdot a^{18}b^{19}c^4}{14a^{20}b^{15}}$
Сокращаем коэффициенты: $\frac{28}{14}=2$. Итоговый коэффициент $2 \cdot 15 = 30$.
Сокращаем переменные:
$\frac{a^{18}}{a^{20}} = a^{18-20} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$\frac{b^{19}}{b^{15}} = b^{19-15} = b^4$
$c^4$ остается в числителе.
Собираем результат:
$30 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b^4 \cdot c^4 = \frac{30b^4c^4}{a^2}$
Ответ: $\frac{30b^4c^4}{a^2}$

4) $\frac{48x^4y^3}{49z^9} \div (16x^7y^8)$
Представим второе выражение как дробь $\frac{16x^7y^8}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{48x^4y^3}{49z^9} \cdot \frac{1}{16x^7y^8} = \frac{48x^4y^3}{49 \cdot 16 \cdot z^9x^7y^8}$
Сокращаем коэффициенты: $\frac{48}{16}=3$. Итоговый коэффициент $\frac{3}{49}$.
Сокращаем переменные:
$\frac{x^4}{x^7} = x^{4-7} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$
$\frac{y^3}{y^8} = y^{3-8} = y^{-5} = \frac{1}{y^5}$
$z^9$ остается в знаменателе.
Собираем результат:
$\frac{3}{49} \cdot \frac{1}{x^3} \cdot \frac{1}{y^5} \cdot \frac{1}{z^9} = \frac{3}{49x^3y^5z^9}$
Ответ: $\frac{3}{49x^3y^5z^9}$

5) $\frac{11a^5b^{12}}{12cd^6} \div \frac{55a^3b^2}{18c^7d^4} \cdot \frac{21b^6d^2}{20a^7c^3}$
Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала деление:
$\frac{11a^5b^{12}}{12cd^6} \div \frac{55a^3b^2}{18c^7d^4} = \frac{11a^5b^{12}}{12cd^6} \cdot \frac{18c^7d^4}{55a^3b^2} = \frac{11 \cdot 18}{12 \cdot 55} \cdot \frac{a^5b^{12}c^7d^4}{cd^6a^3b^2}$
Упрощаем: $\frac{11 \cdot 18}{12 \cdot 55} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.
$a^{5-3}=a^2$, $b^{12-2}=b^{10}$, $c^{7-1}=c^6$, $d^{4-6}=d^{-2}=\frac{1}{d^2}$.
Промежуточный результат: $\frac{3a^2b^{10}c^6}{10d^2}$.
Теперь умножаем его на третью дробь:
$\frac{3a^2b^{10}c^6}{10d^2} \cdot \frac{21b^6d^2}{20a^7c^3} = \frac{3 \cdot 21}{10 \cdot 20} \cdot \frac{a^2b^{10}c^6b^6d^2}{d^2a^7c^3}$
Упрощаем: коэффициент $\frac{63}{200}$.
Переменные: $\frac{a^2}{a^7}=a^{-5}=\frac{1}{a^5}$, $b^{10}b^6=b^{16}$, $\frac{c^6}{c^3}=c^3$, $\frac{d^2}{d^2}=1$.
Итоговый результат:
$\frac{63b^{16}c^3}{200a^5}$
Ответ: $\frac{63b^{16}c^3}{200a^5}$

6) $\left(-\frac{2p^4q^2}{5m^8}\right)^3 \div \left(-\frac{2p^5q^3}{5m^6}\right)^4$
Сначала возводим каждую дробь в степень. Используем правило $(x^a)^b = x^{ab}$ и $(\frac{x}{y})^a = \frac{x^a}{y^a}$.
Первая дробь: $\left(-\frac{2p^4q^2}{5m^8}\right)^3 = (-1)^3 \frac{2^3(p^4)^3(q^2)^3}{5^3(m^8)^3} = -\frac{8p^{12}q^6}{125m^{24}}$.
Вторая дробь: $\left(-\frac{2p^5q^3}{5m^6}\right)^4 = (-1)^4 \frac{2^4(p^5)^4(q^3)^4}{5^4(m^6)^4} = \frac{16p^{20}q^{12}}{625m^{24}}$.
Теперь выполняем деление. При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.
$-\left(\frac{8p^{12}q^6}{125m^{24}} \div \frac{16p^{20}q^{12}}{625m^{24}}\right) = -\left(\frac{8p^{12}q^6}{125m^{24}} \cdot \frac{625m^{24}}{16p^{20}q^{12}}\right)$
Сокращаем: $-\frac{8 \cdot 625}{125 \cdot 16} \cdot \frac{p^{12}q^6m^{24}}{m^{24}p^{20}q^{12}}$
Коэффициенты: $-\frac{8}{16} \cdot \frac{625}{125} = -\frac{1}{2} \cdot 5 = -\frac{5}{2}$.
Переменные: $\frac{p^{12}}{p^{20}}=p^{-8}=\frac{1}{p^8}$, $\frac{q^6}{q^{12}}=q^{-6}=\frac{1}{q^6}$, $\frac{m^{24}}{m^{24}}=1$.
Собираем результат:
$-\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{p^8q^6} = -\frac{5}{2p^8q^6}$
Ответ: $-\frac{5}{2p^8q^6}$