Номер 30, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 30, страница 8.

Условие.

30. Выполните возведение в степень:

1) $\left(\frac{m^6}{n^3}\right)^2$;

2) $\left(-\frac{3a}{2b^2}\right)^4$;

3) $\left(-\frac{5a^3b^4}{3c^5d^7}\right)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных задач используются следующие свойства степени:

• Возведение дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
• Возведение произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• При возведении отрицательного выражения в четную степень результат будет положительным, а при возведении в нечетную степень — отрицательным.

1) $(\frac{m^6}{n^3})^2$

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности:

$(\frac{m^6}{n^3})^2 = \frac{(m^6)^2}{(n^3)^2}$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$\frac{m^{6 \cdot 2}}{n^{3 \cdot 2}} = \frac{m^{12}}{n^6}$

Ответ: $\frac{m^{12}}{n^6}$

2) $(-\frac{3a}{2b^2})^4$

Поскольку дробь возводится в четную степень (4), отрицательный знак пропадает, так как $(–x)^4 = x^4$:

$(-\frac{3a}{2b^2})^4 = (\frac{3a}{2b^2})^4$

Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель:

$\frac{(3a)^4}{(2b^2)^4}$

Теперь возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{3^4 \cdot a^4}{2^4 \cdot (b^2)^4} = \frac{81a^4}{16 \cdot b^{2 \cdot 4}} = \frac{81a^4}{16b^8}$

Ответ: $\frac{81a^4}{16b^8}$

3) $(-\frac{5a^3b^4}{3c^5d^7})^3$

Поскольку дробь возводится в нечетную степень (3), знак минус сохраняется:

$(-\frac{5a^3b^4}{3c^5d^7})^3 = -(\frac{5a^3b^4}{3c^5d^7})^3$

Возводим в третью степень числитель и знаменатель, сохраняя знак минуса перед дробью:

$-\frac{(5a^3b^4)^3}{(3c^5d^7)^3}$

Возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе:

$-\frac{5^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^4)^3}{3^3 \cdot (c^5)^3 \cdot (d^7)^3} = -\frac{125 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^{4 \cdot 3}}{27 \cdot c^{5 \cdot 3} \cdot d^{7 \cdot 3}} = -\frac{125a^9b^{12}}{27c^{15}d^{21}}$

Ответ: $-\frac{125a^9b^{12}}{27c^{15}d^{21}}$