Номер 23, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 23, страница 7.

Условие.

23. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $ \frac{6n^2 + 4n + 10}{n} $;

2) $ \frac{n^3 - 5n^2 + 32}{n^2} $;

3) $ \frac{6n + 2}{2n - 3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $\frac{6n^2 + 4n + 10}{n}$ является целым числом, преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель.

$\frac{6n^2 + 4n + 10}{n} = \frac{6n^2}{n} + \frac{4n}{n} + \frac{10}{n} = 6n + 4 + \frac{10}{n}$

Так как по условию $n$ — натуральное число, то выражения $6n$ и $4$ являются целыми числами. Следовательно, для того чтобы всё выражение было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{n}$ также была целым числом. Это условие выполняется, если знаменатель $n$ является натуральным делителем числителя 10.

Натуральными делителями числа 10 являются: 1, 2, 5, 10.

Таким образом, искомые значения $n$ — это 1, 2, 5, 10.

Ответ: 1, 2, 5, 10.

2) Рассмотрим выражение $\frac{n^3 - 5n^2 + 32}{n^2}$ и найдем все натуральные $n$, при которых оно принимает целые значения. Аналогично предыдущему пункту, разделим числитель на знаменатель.

$\frac{n^3 - 5n^2 + 32}{n^2} = \frac{n^3}{n^2} - \frac{5n^2}{n^2} + \frac{32}{n^2} = n - 5 + \frac{32}{n^2}$

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $n - 5$ является целым. Для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{32}{n^2}$ была целым числом. Это означает, что $n^2$ должно быть натуральным делителем числа 32.

Натуральные делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Теперь нужно найти такие натуральные $n$, квадрат которых является одним из этих делителей. Проверим каждый делитель:

Если $n^2 = 1$, то $n = 1$. Это натуральное число.

Если $n^2 = 4$, то $n = 2$. Это натуральное число.

Если $n^2 = 16$, то $n = 4$. Это натуральное число.

Остальные делители (2, 8, 32) не являются квадратами натуральных чисел (например, если $n^2=2$, то $n=\sqrt{2}$, что не является натуральным числом).

Следовательно, искомые значения $n$ — это 1, 2, 4.

Ответ: 1, 2, 4.

3) Рассмотрим выражение $\frac{6n + 2}{2n - 3}$ и найдем все натуральные $n$, при которых оно является целым числом. Для решения выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель, чтобы он содержал выражение из знаменателя $(2n - 3)$.

$6n + 2 = 3 \cdot (2n) + 2 = 3 \cdot (2n - 3 + 3) + 2 = 3(2n - 3) + 3 \cdot 3 + 2 = 3(2n - 3) + 11$.

Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{6n + 2}{2n - 3} = \frac{3(2n - 3) + 11}{2n - 3} = \frac{3(2n - 3)}{2n - 3} + \frac{11}{2n - 3} = 3 + \frac{11}{2n - 3}$.

Выражение $3 + \frac{11}{2n - 3}$ является целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{11}{2n - 3}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $(2n - 3)$ является делителем числа 11.

Делителями простого числа 11 являются: -11, -1, 1, 11.

Рассмотрим все четыре случая, решая уравнения относительно $n$:

1. $2n - 3 = -11 \implies 2n = -8 \implies n = -4$. Не является натуральным числом.

2. $2n - 3 = -1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$. Является натуральным числом.

3. $2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$. Является натуральным числом.

4. $2n - 3 = 11 \implies 2n = 14 \implies n = 7$. Является натуральным числом.

Таким образом, подходящие натуральные значения $n$ — это 1, 2, 7.

Ответ: 1, 2, 7.