Номер 21, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 21, страница 6.

Условие.

21. Упростите выражение:

1) $\frac{x-4}{x-2} - \frac{x}{2-x}$;

2) $\frac{5x+6}{5-x} + \frac{3x+16}{x-5}$;

3) $\frac{(2a-1)^2}{6a-6} + \frac{(a-2)^2}{6-6a}$;

4) $\frac{16-7x}{(x-4)^2} - \frac{x-x^2}{(4-x)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x-4}{x-2} - \frac{x}{2-x}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что знаменатель второй дроби можно представить в виде $2-x = -(x-2)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя перед дробью:

$\frac{x-4}{x-2} - \frac{x}{-(x-2)} = \frac{x-4}{x-2} + \frac{x}{x-2}$

Теперь, когда у дробей общий знаменатель $x-2$, сложим их числители:

$\frac{(x-4)+x}{x-2} = \frac{2x-4}{x-2}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(x-2)}{x-2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-2)$, при условии что $x \neq 2$:

$\frac{2\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}} = 2$

Ответ: $2$

2) $\frac{5x+6}{5-x} + \frac{3x+16}{x-5}$

Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $5-x = -(x-5)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-5$.

Для этого в первой дроби вынесем минус из знаменателя и поставим его перед дробью:

$\frac{5x+6}{-(x-5)} + \frac{3x+16}{x-5} = -\frac{5x+6}{x-5} + \frac{3x+16}{x-5}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{-(5x+6) + (3x+16)}{x-5} = \frac{-5x-6+3x+16}{x-5}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-2x+10}{x-5}$

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки:

$\frac{-2(x-5)}{x-5}$

Сократим дробь на $(x-5)$, при условии что $x \neq 5$:

$\frac{-2\cancel{(x-5)}}{\cancel{(x-5)}} = -2$

Ответ: $-2$

3) $\frac{(2a-1)^2}{6a-6} + \frac{(a-2)^2}{6-6a}$

Разложим знаменатели на множители: $6a-6 = 6(a-1)$ и $6-6a = -6(a-1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $6(a-1)$. Для этого преобразуем вторую дробь:

$\frac{(2a-1)^2}{6(a-1)} + \frac{(a-2)^2}{-6(a-1)} = \frac{(2a-1)^2}{6(a-1)} - \frac{(a-2)^2}{6(a-1)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(2a-1)^2 - (a-2)^2}{6(a-1)}$

Числитель представляет собой разность квадратов вида $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. Применим эту формулу, где $A=2a-1$ и $B=a-2$:

$(2a-1)^2 - (a-2)^2 = ((2a-1)-(a-2))((2a-1)+(a-2)) = (2a-1-a+2)(2a-1+a-2) = (a+1)(3a-3)$

Вынесем множитель 3 из второй скобки: $(a+1) \cdot 3(a-1)$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{3(a+1)(a-1)}{6(a-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $3(a-1)$, при условии что $a \neq 1$:

$\frac{\cancel{3}(a+1)\cancel{(a-1)}}{\cancel{6}_2\cancel{(a-1)}} = \frac{a+1}{2}$

Ответ: $\frac{a+1}{2}$

4) $\frac{16-7x}{(x-4)^2} - \frac{x-x^2}{(4-x)^2}$

Заметим, что знаменатели равны, так как квадрат противоположных чисел равен: $(4-x)^2 = (-(x-4))^2 = (x-4)^2$.

Перепишем выражение с единым знаменателем:

$\frac{16-7x}{(x-4)^2} - \frac{x-x^2}{(x-4)^2}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(16-7x) - (x-x^2)}{(x-4)^2} = \frac{16-7x-x+x^2}{(x-4)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе и расположим их по убыванию степеней $x$:

$\frac{x^2 - 8x + 16}{(x-4)^2}$

Числитель является полным квадратом двучлена $(x-4)$, так как $x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(x-4)^2}{(x-4)^2}$

Сократим дробь, при условии что $x \neq 4$:

$1$

Ответ: $1$