Номер 20, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 20, страница 6.

Условие.

20. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{3a}{10} + \frac{2a}{10} $;

2) $ \frac{6x}{5y} - \frac{x}{5y} $;

3) $ \frac{2m - 4n}{21c} + \frac{5m + 18n}{21c} $;

4) $ \frac{2a + 5b}{ab} - \frac{2a - 3b}{ab} $;

5) $ \frac{5y}{y^2 - 9} - \frac{15}{y^2 - 9} $;

6) $ \frac{y^2 + 8y}{4 - y^2} - \frac{4y - 4}{4 - y^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. $$ \frac{3a}{10} + \frac{2a}{10} = \frac{3a + 2a}{10} = \frac{5a}{10} $$ Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5. $$ \frac{5a}{10} = \frac{a}{2} $$ Ответ: $ \frac{a}{2} $

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. $$ \frac{6x}{5y} - \frac{x}{5y} = \frac{6x - x}{5y} = \frac{5x}{5y} $$ Сократим полученную дробь на 5. $$ \frac{5x}{5y} = \frac{x}{y} $$ Ответ: $ \frac{x}{y} $

3) Сложим дроби с одинаковыми знаменателями. $$ \frac{2m - 4n}{21c} + \frac{5m + 18n}{21c} = \frac{(2m - 4n) + (5m + 18n)}{21c} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе. $$ \frac{2m + 5m - 4n + 18n}{21c} = \frac{7m + 14n}{21c} $$ Вынесем в числителе общий множитель 7 за скобки. $$ \frac{7(m + 2n)}{21c} $$ Сократим дробь на 7. $$ \frac{m + 2n}{3c} $$ Ответ: $ \frac{m + 2n}{3c} $

4) Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями. Минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю. $$ \frac{2a + 5b}{ab} - \frac{2a - 3b}{ab} = \frac{(2a + 5b) - (2a - 3b)}{ab} $$ Раскроем скобки в числителе, изменив знаки на противоположные. $$ \frac{2a + 5b - 2a + 3b}{ab} $$ Приведем подобные слагаемые. $$ \frac{8b}{ab} $$ Сократим дробь на $ b $. $$ \frac{8}{a} $$ Ответ: $ \frac{8}{a} $

5) Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями. $$ \frac{5y}{y^2 - 9} - \frac{15}{y^2 - 9} = \frac{5y - 15}{y^2 - 9} $$ Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем 5 за скобки, а в знаменателе применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $. $$ \frac{5(y - 3)}{y^2 - 3^2} = \frac{5(y - 3)}{(y - 3)(y + 3)} $$ Сократим дробь на общий множитель $ (y - 3) $. $$ \frac{5}{y + 3} $$ Ответ: $ \frac{5}{y + 3} $

6) Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями. $$ \frac{y^2 + 8y}{4 - y^2} - \frac{4y - 4}{4 - y^2} = \frac{(y^2 + 8y) - (4y - 4)}{4 - y^2} $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе. $$ \frac{y^2 + 8y - 4y + 4}{4 - y^2} = \frac{y^2 + 4y + 4}{4 - y^2} $$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель - это полный квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, а знаменатель - разность квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. $$ \frac{(y + 2)^2}{(2 - y)(2 + y)} $$ Поскольку $ (y+2) = (2+y) $, сократим дробь на этот общий множитель. $$ \frac{y + 2}{2 - y} $$ Ответ: $ \frac{y + 2}{2 - y} $