Номер 15, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 15, страница 5.

Условие.

15. Найдите значение выражения:

1) $\frac{a^8b^3 + a^6b^5}{a^6b^3}$, если $a = 0,3$, $b = -0,4$;

2) $\frac{7c^3 - 28c}{12c + 12c^2 + 3c^3}$, если $c = 5$;

3) $\frac{(2x - 2y)^2}{2x^2 - 2y^2}$, если $x = 0,2$, $y = -0,4$;

4) $\frac{4x^2 - 40xy + 100y^2}{15y - 3x}$, если $x - 5y = 0,6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого можно вынести общий множитель в числителе за скобки или разделить числитель почленно на знаменатель. Выберем второй способ:
$\frac{a^8b^3 + a^6b^5}{a^6b^3} = \frac{a^8b^3}{a^6b^3} + \frac{a^6b^5}{a^6b^3}$
Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, сократим каждую дробь:
$a^{8-6}b^{3-3} + a^{6-6}b^{5-3} = a^2b^0 + a^0b^2$
Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($x^0=1$), выражение принимает вид:
$a^2 \cdot 1 + 1 \cdot b^2 = a^2 + b^2$
Теперь подставим в полученное выражение числовые значения $a = 0,3$ и $b = -0,4$:
$(0,3)^2 + (-0,4)^2 = 0,09 + 0,16 = 0,25$
Ответ: 0,25

2) Перед подстановкой значения $c$ упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $7c$ и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$7c^3 - 28c = 7c(c^2 - 4) = 7c(c-2)(c+2)$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $3c$ и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$12c + 12c^2 + 3c^3 = 3c(4 + 4c + c^2) = 3c(c+2)^2$
Теперь запишем дробь в новом виде и сократим общие множители $c$ и $(c+2)$:
$\frac{7c(c-2)(c+2)}{3c(c+2)^2} = \frac{7(c-2)}{3(c+2)}$
Подставим значение $c=5$ в упрощенное выражение:
$\frac{7(5-2)}{3(5+2)} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{21}{21} = 1$
Ответ: 1

3) Сначала упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$(2x - 2y)^2 = (2(x-y))^2 = 2^2(x-y)^2 = 4(x-y)^2$
В знаменателе вынесем общий множитель 2 и применим формулу разности квадратов:
$2x^2 - 2y^2 = 2(x^2-y^2) = 2(x-y)(x+y)$
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим ее:
$\frac{4(x-y)^2}{2(x-y)(x+y)} = \frac{2(x-y)}{x+y}$
Теперь подставим значения $x=0,2$ и $y=-0,4$ в упрощенную дробь:
$\frac{2(0,2 - (-0,4))}{0,2 + (-0,4)} = \frac{2(0,2+0,4)}{0,2-0,4} = \frac{2 \cdot 0,6}{-0,2} = \frac{1,2}{-0,2} = -6$
Ответ: -6

4) Упростим данное выражение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $4x^2 - 40xy + 100y^2$ является полным квадратом. Вынесем 4 за скобки и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$4(x^2 - 10xy + 25y^2) = 4(x - 5y)^2$
В знаменателе $15y - 3x$ вынесем за скобки общий множитель $-3$ для получения выражения, аналогичного скобке в числителе:
$15y - 3x = -3x + 15y = -3(x-5y)$
Запишем дробь в новом виде и сократим на общий множитель $(x-5y)$:
$\frac{4(x-5y)^2}{-3(x-5y)} = \frac{4(x-5y)}{-3} = -\frac{4}{3}(x-5y)$
По условию задачи $x-5y=0,6$. Подставим это значение в упрощенное выражение:
$-\frac{4}{3} \cdot 0,6 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{6}{10} = -\frac{4 \cdot 6}{3 \cdot 10} = -\frac{24}{30} = -\frac{4}{5} = -0,8$
Ответ: -0,8