Номер 22, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 22, страница 7.

Условие.

22. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:

1) $\frac{y+4}{y}$;

2) $\frac{a^2-3a+4}{a-3}$;

3) $\frac{x^2+4x-8}{x-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы записать дробь в виде суммы целого выражения и дроби, разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{y+4}{y} = \frac{y}{y} + \frac{4}{y}$

Так как $\frac{y}{y} = 1$ (при условии, что $y \ne 0$), мы получаем сумму целого числа и дроби:

$1 + \frac{4}{y}$

Ответ: $1 + \frac{4}{y}$

2) Для преобразования дроби $\frac{a^2 - 3a + 4}{a-3}$ выделим в числителе выражение, которое делится на знаменатель $a-3$ без остатка. Сгруппируем первые два слагаемых числителя:

$a^2 - 3a + 4 = a(a-3) + 4$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и разделим ее на два слагаемых:

$\frac{a(a-3) + 4}{a-3} = \frac{a(a-3)}{a-3} + \frac{4}{a-3}$

После сокращения первой дроби получаем искомое выражение:

$a + \frac{4}{a-3}$

Ответ: $a + \frac{4}{a-3}$

3) Для того чтобы представить дробь $\frac{x^2 + 4x - 8}{x-4}$ в виде суммы целого выражения и дроби, выполним преобразование числителя, выделяя в нем слагаемые, которые делятся на знаменатель $x-4$ без остатка. Этот процесс аналогичен делению многочлена на многочлен "уголком".

Представим числитель в следующем виде, добавляя и вычитая одинаковые слагаемые, чтобы сгруппировать члены с множителем $(x-4)$:

$\frac{x^2 + 4x - 8}{x-4} = \frac{x^2 - 4x + 8x - 8}{x-4} = \frac{x(x-4) + 8x - 8}{x-4}$

Теперь проделаем то же самое с оставшимся выражением $8x-8$:

$\frac{x(x-4) + 8x - 32 + 24}{x-4} = \frac{x(x-4) + 8(x-4) + 24}{x-4}$

Теперь мы можем разбить дробь на сумму:

$\frac{x(x-4)}{x-4} + \frac{8(x-4)}{x-4} + \frac{24}{x-4} = x + 8 + \frac{24}{x-4}$

Здесь $x+8$ — это целое выражение, а $\frac{24}{x-4}$ — дробь.

Ответ: $x+8 + \frac{24}{x-4}$